コーシーの積分定理(Cauchy's integral theorem)

定理 4..2 (コーシーの積分定理)   領域$\Omega$で関数$f(z)$が正則であるとき，$\Omega$内の任意の単一閉曲線を$C$とし，$C$で囲まれた領域 $\Omega_{1}$が$\Omega$の内部にあるとすれば，常に

$$\int_{C}f(z)\;dz = 0$$

解説 $f'(z)$が連続の場合 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$とおくと， $f(x)dz = (u+iv)(dx + idy) = (udx -vdy) +i(vdx + udy)$. これより，

$$\int_{C}f(z)dz = \int_{C}udx-vdy + i\int_{C}vdx + udy$$

ここで，Greenの定理を用いると

$$\int_{C}udx-vdy = \iint_{\Omega}(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})$$

また，$f(z)$は正則よりコーシー・リーマン( $${\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{\partial u}{\partial y}}$$)の関係式が成り立つので， $\int_{C}udx-vdy = 0$. 同様に，

$$\int_{C}vdx + udy = \iint_{\Omega}(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial v}) = 0$$

練習問題4.3

1． 次の定理を証明せよ．

(a)

関数$f(z)$が領域$D$で正則であり，2点$a,b$を結ぶ2つの曲線 $C_{1},C_{2}$が$D$内にあり，かつ $C_{1},C_{2}$で囲まれた領域が$D$内にあれば，

$$\int_{c_{1}}f(z)dz = \int_{c_{2}}f(z)dz$$

である．

(b)

2つの単一閉曲線 $C_{1},C_{2}$で囲まれた領域$D$で$f(z)$が正則ならば，

$$\int_{C_{1}}f(z)dz = \int_{C_{2}}f(z) dz$$

2. 次の関数を，示された閉曲線に沿って積分せよ．

(a)

$\frac{1}{z^2 + 1}, \ C:$ 原点を中心とし，半径$r > 1$の円周

(b)

$\frac{z}{(2z + i)(z - 2)}, \ C:$ 単位円

(c)

$\frac{1}{z^4}, \ C:$ 原点を中心とし，半径 $r > 1$ の円の上半円周と，実軸上の直径

3. 次の積分を求めよ．積分路は下端と上端を結ぶ線分とする．

(a)

$\int_{i}^{1}z^2\ dz$

(b)

$\int_{0}^{i}ze^{z}\ dz$

(c)

$\int_{0}^{1+i}\frac{z}{z+1}\ dz$

(d)

$\int_{0}^{i}\frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}\ dz$

4. 次の関数が調和関数であることを証明し，それを実部にもつような正則関数を作れ．

(a)

$u = x^2 - y^2$

(b)

$u = e^{x}\cos{y}$

(c)

$u = \cos{x}\sinh{y}$

(d)

$u = \frac{1}{2}\log_{e}(x^2 + y^2)$