コーシーの積分表示(Cauchy's integral formula)

定理 4..3 (正則関数の積分表示)   関数$f(z)$が領域$\Omega$で正則であるとする．$\Omega$内に単一閉曲線$C$があり，$C$の内部も$\Omega$に含まれているとき，$C$の内部の任意の点$a$に対して次の公式が成り立つ．

$$f(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-a}dz$$

$$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\;dz$$

解説 $f(z) = f(a) + (f(z)-f(a))$と書き直す．ここで，

$$\int_{C}\frac{f(z)}{z-a}dz = \int_{C}\frac{f(a)}{z-a}dz+ \int_{C}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz$$

閉曲線$C$の内部に点$a$を含む半径 $\varepsilon$の円を用意すると， $z - a = \varepsilon e^{i\theta}$と表せる．これより， $dz = \varepsilon ie^{i\theta}$となり

$$\int_{C}\frac{f(a)}{z-a}dz = \int_{0}^{2\pi}\frac{f(a)\varepsilon ie^{i\theta}}{\varepsilon e^{i\theta}}d\theta = if(a)2\pi$$

残りは， $\int_{C}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz = 0$を示せばよい． $f(z)$が連続より $\vert z-a\vert<\delta$のとき $\vert f(z)-f(a)\vert<\varepsilon$となる$\delta$が存在する．そこで，点$a$の周りの円$K$の半径$\rho$を$\delta$より小さくなるようにとると

$$\int_{K}\vert\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\vert dz < \int_{K}\frac{\varepsilon}{\rho}dz$$

これより，

$$\vert\int_{K}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz\vert < \frac{\varepsilon}{\rho}2\pi\rho = 2\pi \varepsilon$$

$\varepsilon$は限りなく小さくとれるので， $\int_{C}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz = 0$

練習問題4.4

1． 次の定理を証明せよ．

$$f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\ dx \ (n = 1,2,3,\ldots)$$

2. 次の積分を求めよ．

(a)

$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{z}}{z - 2}\ dz$

(b)

$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{z}}{z - 2}\ dz$

(c)

$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\sin^{2}{z}}{z}\ dz$

(d)

$\int_{\vert z\vert=3}\frac{e^{3z}}{2z - \pi i}\ dz$

(e)

$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{3z}}{2z - \pi i}\ dz$

(f)

$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\cos{z}}{z^2 + 1}\ dz$

(g)

$\int_{\vert z\vert=1}\frac{e^{z}}{z^{4}}\ dz$

(h)

$\int_{\vert z\vert=3}\frac{\sin{z}}{(2z - \pi)^{3}}\ dz$

(i)

$\int_{\vert z\vert=1}\frac{\sin{z}}{(2z - \pi)^{3}}\ dz$