線積分とグリーンの定理(Line integral and Green's theorem)

$P(x,y)$ と $Q(x,y)$ が $x,y$ の実関数で曲線 $C$ 上の全ての点で連続であるとする．このとき，曲線 $C$ に沿った $P\;dx + Q\;dy$ の線積分は

$\displaystyle \int_{C} [P(x,y)\;dx + Q(x,y)\;dy]$

で定義される．ここで，曲線 $C$

が滑らかで，媒介変数表示 $x = \phi(t), y = \psi(t)$ , $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ が可能なとき，線積分は

$\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}}[P(\phi(t),\psi(t))\;dt + Q(\phi(t),\psi(t))\;dt]$

で与えることができる．

定理 4..1 (グリーンの定理)

を単一閉曲線とし， $\Omega$ をその周および内部からなる閉領域とする．関数が $\Omega$ で連続な偏導関数をもつとき，

$\displaystyle \int_{C}Pdx + Qdy = \iint_{\Omega}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\;dx\;dy$

解説 $\Omega = \{(x,y):a < x < b, y_{1}(x) < y < y_{2}(x)\}$ の場合について示す．

曲線 $C_1$ を $y_{1}(x)$ , 曲線 $C_2$ を $y_{2}(x)$ とすると，曲線 $C$ は $C = C_1 - C_2$ と表せる．

$\int_{C}Pdx = -\iint_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$ を示す．

$\displaystyle \iint_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{a}^{b}\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{a}^{b}(P(x,y_{2}(x))-P(x,y_{1}(x)))dx = - \int_{a}^{b}(P(x,y_{1}(x)) - P(x,y_{2}(x)))dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\left(\int_{C_1}P(x,y)dx - \int_{C_2}P(x,y)dx\right) = - \oint_{C}P(x,y)dx$

練習問題4.1

1. 次の線積分を求めよ．

(a): $\int_{c}y dx, \ C: y = 1 -x, \ 0 \leq x \leq 1$
(b): $\int_{c}x^2 dy, \ C: y = 1 -x, \ 0 \leq x \leq 1$
(c): $\int_{c}(xy dx - y^2 dy), \ C: y = x^2, \ -1 \leq x \leq 1$
(d): $\int_{c}(xy dx - x^3 dy), \ C: x = \cos{\theta}, y = \sin{\theta}, \ 0 \leq \theta \leq 2\pi$

2. 媒介変数 $t$ に関する次の線積分を求めよ．

(a): $\int_{c}(x^2 + y)dt, \ C: x = \sqrt{t}, y = 1 - t^2, \ 0 \leq t \leq 1$
(b): $\int_{c}xy^2 dt, \ C: x = \sin{t}, y = \sin^{2}{t}, \ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$

3. Greenの定理を用いて次の線積分の値を求めよ．