コーシー・リーマン関係式(Cauchy-Riemann differential equation)

領域$D$で定義された関数 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$が$D$内の点 $z_{0} = x_{0} + iy_{0}$で微分可能だとする．このとき，$y$を一定に保ちながら$\Delta z$を0に近づけると

$$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(z_{0} + \Delta x) - f(z_{0})... ...f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

同様に，$x$を一定に保ちながら$\Delta z$を0に近づけると

$$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(z_{0} + i\Delta y) - f(z_{0}... ...}{\partial y} = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}$$

これより，

$$f'(z) = \frac{\partial f}{\partial x} = -i\frac{\partial f}{\partial y}$$

実部と虚部を比較すると，

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \ \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}$$

という式を得る．この式をコーシー・リーマンの関係式(Cauchy-Riemann differential equation)という．

定理 3..4   領域$D$で定義された関数 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$が$D$内の点 $z_{0} = x_{0} + iy_{0}$で微分可能であるための必要十分条件は， $u(x,y),v(x,y)$が点 $(x_{0},y_{0}$で全微分可能で

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y}$$

が成り立つことである．このとき，

$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

$f(z)$がその定義域$D$のすべての点で微分可能なとき，$f(z)$は$D$で正則(analytic)であるという．

$Z$平面全体 $(\vert z\vert < \infty)$で正則な関数を整関数という．

注1． 点$z_{0}$で正則というときは，$z_{0}$だけでなくその近傍を含めて正則なことを意味する．

注2． $f(z)$が正則ならば，(微分可能であるから)連続である．

定理 3..5   $f(z) = u + iv$が$D$で正則のとき， $u,v$の第2次偏導関数も連続とすれば，$u,v$は調和関数(harmonic function)である．すなわち Laplaceの微分方程式を満たす．

$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u... ...a v = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$$

注 $u,v$が連続な第2次偏導関数をもつことを仮定したが，正則関数は何回でも微分可能なことが別に証明されているから，この仮定はいらない．

定理 3..6   領域$D$で $u(x,y),v(x,y)$がCauchy-Riemannの方程式を満たし，かつ連続な偏導関数をもてば， $f(z) = u + iv$は$D$で正則である．

注 定理3.4の十分条件を強くしたもので，正則性の判定に有効である．

例 3..1   $w = z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$では $u = x^2 - y^2, v = 2xy$が多項式で，その書く偏導関数も連続であり， $u_{x} = 2x = v_{y}, u_{y} = -2y = -v_{x}$であるから，定理3.6より$w = z^2$は全平面で正則である．

例 3..2   $w = \bar{z} = x - iy$では， $u = x, v = -y$で$u_{x} = 1$と $v_{y} = -1$とが等しくないから，Cauchy-Riemannの方程式(正則の必要条件)が成り立たない．よって， $w = \bar{z}$は正則ではない．

例題 3..2   $f(z)$が正則で $f'(z) \equiv 0$なら，$f(z)$は定数であることを証明せよ．

解 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$が正則であるから定理3.4によって

$$f'(z) = u_{x} + iv_{x} = v_{y} - iu_{y}$$

仮定より $f'(z) \equiv 0$であるから， $u_{x} \equiv 0, \ u_{y} \equiv 0, \ v_{x} \equiv 0, \ v_{y} \equiv 0$．ゆえに $u(x,y),v(x,y)$はいずれも定数．したがって， $f(z) = u + iv$も定数である．

例題 3..3   次の関数 $u = u(x,y)$は調和関数であることを示し，これを実部にもつ正則関数 $w = u + iv$を求めよ．

$(1) \ u = xy$ $(2) \ u = (x-y)(x^2 + 4xy + y^2)$

解 (1) $u_{x} = y, \ u_{y} = x, \ u_{xx} = u_{yy} = 0$より $u_{xx} + u_{yy} = 0$．ゆえに$u = xy$は調和関数．次に， $w = u + iv$は正則であるからCauchy-Riemannの関係式から

$$u_{x} = v_{y} = y, \ u_{y} = - v_{x} = x$$

を満たす．そこで最初の式を$y$について積分すると

$$v = \int v_{y} dy = \int y dy = \frac{y^2}{2} + \phi(x)$$

を得る．ここで$\phi(x)$は$x$だけの関数である．これをあとの式に代入すると $\phi'(x) = -x$． よって $\phi(x) = -\frac{x^2}{2} + c_{1}$．これより $v = \frac{y^2 - x^2}{2} + c_{1}$．したがって

$$w = u + iv = xy + i\left(\frac{y^2 - x^2}{2} + c_{1}\right) = \frac{-i}{2}(x^2 - y^2 + 2xyi) + ic_{1} = -\frac{i}{2}z^2 + c \ (c = c_{1})$$

(2) $u = x^3 + 3x^2y - 3xy^2 - y^3$より， $u_{x} = 3x^2 + 6xy - 3y^2$, $u_{y} = 3x^2 - 6xy - 3y^2$, $u_{xx} = 6x + 6y$, $u_{yy} = -6x - 6y$．これより， $u_{xx} + u_{yy} = 0$．よって，$u$は調和関数．次に， $w = u + iv$は正則であるからCauchy-Riemannの関係式から

$$u_{x} = v_{y} = 3x^2 + 6xy - 3y^2, \ u_{y} = - v_{x} = 3x^2 - 6xy - 3y^2$$

を満たす．そこで最初の式を$y$について積分すると

$$v = \int v_{y} dy = \int y dy = 3x^2 y + 3xy^2 - y^3 + \phi(x)$$

を得る．ここで$\phi(x)$は$x$だけの関数である．これをあとの式に代入すると $\phi'(x) = -3x^2$． よって $\phi(x) = -x^3 + c_{1}$．これより $v = 3x^2 y + 3xy^2 - y^3 -x^3 + c_{1}$．したがって

$$w = u + iv = x^3 + 3x^2y - 3xy^2 - y^3 + i(3x^2 y + 3xy^2 - y^3 -x^3 + c_{1})$$

$$= x^3 + 3x^2y - 3xy^2 - y^3 + i(3x^2 y + 3xy^2 - y^3 -x^3) + ic_{1}$$

$$= (1-i)(x+iy)^3 + ic_{1} = (1-i)z^3 + c$$

練習問題3.2

1. 次の関数を微分せよ．

(a)

$z^3ー2z^2 + 3z$

(b)

$(z^2 + i)^3$

(c)

$\frac{z-i}{z+i}$

2. 次の関数を微分せよ．

(a)

$\tan{z}$

(b)

$${\frac{1}{\cos{z}}}$$

(c)

$\sqrt{z^2 + 1}$

(d)

$\sin^{2}{z}$

(e)

$\log(z^2 + 4i)$

(f)

$${i^{\cos{z}}}$$

(g)

$\sin^{-1}{(z-i)}$

(h)

$\log(z + \sqrt{z^2 + 1})$

(i)

$\log(\sin^{-1}{z})$

(j)

$${z^z}$$

3. $z = x + iy$とするとき，次の関数の正則性を調べ，正則ならばその導関数を求めよ．

(a)

$x - iy$

(b)

$x^2 - y^2 + 2ixy$

(c)

$(x^2 - y^2 - 3x + 2) + i(2xy - 3y)$

(d)

$${\frac{x + iy}{x^2 + y^2}}$$