4.1 線積分とグリーンの定理

1. 複素積分を求めるには，一般に曲線$C$を $z(t) = x(t) + iy(t)$とパラメター化する．

この曲線は点$(0,1)$と点$(1,0)$を結ぶ直線であるので， $z(t) = (0,1) + (1,-1)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = t, y(t) = 1 - t, \ 0 \leq t \leq 1$． これより

$$\int_{c}y dx = \int_{0}^{1}(1-t)dt = t - \frac{t^2}{2} \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

別解 この問題は$y = 1-x$と$x$で表示されているので，直接積分できる．

$$\int_{c}y dx = \int_{0}^{1}(1-x)dx = x - \frac{x^2}{2} \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$

この曲線は点$(0,1)$と点$(1,0)$を結ぶ直線であるので， $z(t) = (0,1) + (1,-1)t，\ 0 \leq t \leq 1$とパラメター化できる．したがって， $x(t) = t, y(t) = 1 - t, \ 0 \leq t \leq 1$, $dy = -dt$. これより

$$\int_{c}x^2 dy = \int_{0}^{1}t^2 (-dt) = -\frac{t^3}{3} \mid_{0}^{1} = -\frac{1}{3}$$

この曲線は点$(-1,1)$と点$(1,1)$を$y = x^2$で結ぶ曲線であるので， $x(t) = t, y(t) = t^2, \ -1 \leq t \leq 1$, $dy = 2tdt$とパラメター化できる．これより

$$\int_{c}(xy dx - y^2 dy) = \int_{-1}^{1}(t^3 - t^4(2t)) dt = 0 \ (t^3, t^5は奇関数$$

この曲線は中心を原点とする半径1の円であるので， $x(t) = \cos{t}, y(t) = \sin{t}, \ 0 \leq t \leq 2\pi$とパラメター化できる． $dx = -\sin{t}dt, dy = \cos{t}dt$となるので

$$\int_{c}(xy dx - x^3 dy) = \int_{0}^{2\pi}(-\sin^{2}{t}\cos{t} - \cos^{4}{t} )dt$$

ここで $u = \sin{t}$とおくと $du = \cos{t}dt$, $$\begin{array}{ll} t :& 0 \to 2\pi\\ u :& 0 \to 0 \end{array}$$となるので

$$\int_{0}^{2\pi}(-\sin^{2}{t}\cos{t} dt = \int_{0}^{0} u^2 du = 0$$

次に

$$\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}{t} dt = \int_{0}^{2\pi}(\cos^{2}{t})^{2} dt = \int_{0}^{2\pi}(\frac{1 + \cos{2t}}{2})^2 dt$$

$$= \frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}(1 + 2\cos{2t} + \cos^{2}{2t}) dt$$

$$= \frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}(1 = 2\cos{2t} + \frac{1 + \cos{4t}}{2}) dt$$

$$= \frac{1}{4}[\frac{3t}{2} + \cos{2t} + \frac{\sin{4t}}{8}\mid_{0}^{2\pi}]$$

$$= \frac{3\pi}{4}$$

2.

(a) この曲線はすでにパラメター化されている． したがって

$$\int_{c}(x^2 + y) dt = \int_{0}^{1}(t + 1 - t^2) dt = \frac{t^2}{2} + t - \frac{t^3}{3}\mid_{0}^{1}$$

$$= \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{3} = \frac{7}{6}$$

(b) この曲線はすでにパラメター化されている． したがって

$$\int_{c}xy^2 dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}\sin^{2}{t} dt$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}{t} dt = \frac{2!!}{3!!} = \frac{2}{3}$$

注意 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{t} dt = \left\{\begin{array}{l} \frac{(n-1)!!}{n!!} \ (n 奇数)\\ \frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} \ (n 偶数) \end{array}\right.$

$n!! = n(n-2)(n-4) \cdots$を表す．

3. Greenの定理とは，単一閉曲線$C$囲まれた単連結領域$R$上で，偏微分が連続であるような $P(x,y), Q(x,y)$の線積分は，単連結領域$R$での2重積分で表せるというものである．つまり

$$\int_{c}Pdx + Qdy = \int\int_{R}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

(a) Greenの定理を用いると

$$\int_{c}(xy^2 dx - xy^2 dy) = \int\int_{R}(\frac{\partial(-xy^2)}{\partial{x}} - \frac{\partial(x^2 y)}{\partial{y}})dx dy$$

$$\int\int_{R}(-y^2 - x^2)dxdy = -\int\int_{R}(x^2 + y^2)dx dy$$

$$= - \int_{0}^{2\pi}\int_{r =0}^{1} r^2 \vert J\vert dr d\theta$$

ここでジャコビアン$J$を求めると $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \left\vert\begin{array}{cc} \fr... ...y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right\vert = r$.

これより

$$\int_{c}(xy^2 dx - xy^2 dy) = - \int_{0}^{2\pi}\int_{r =0}^{1} r^2 r dr d\theta$$

$$= - \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{r =0}^{1} r^3 dr = - 2\pi \frac{1}{4} = -\frac{\pi}{2}$$

(b) Greenの定理を用いると

$$\int_{c}(y dx + 2x dy) = \int\int_{R}(\frac{\partial(2x)}{\partial{x}} - \frac{\partial(y)}{\partial{y}})dx dy$$

$$\int\int_{R}(2 - 1)dxdy = \int\int_{R}dx dy$$

$$= Rの面積 = \frac{\pi}{4}$$