2.4 関数の性質

(a) $f(x) = x^2$ は区間 $[1,2]$ で連続で，区間 $(1,2)$ で微分可能である． $f'(\xi) = 2\xi$ で

$\displaystyle f'(\xi) = \frac{f(2) - f(1)}{2 -1} = \frac{4 -1 }{1} = 3$

より， $\xi = \frac{3}{2}$ ．

(b) $f(x) = x^3$ は区間 $[1,3]$ で連続で，区間 $(1,3)$ で微分可能である． $f'(\xi) = 3\xi^2$ で

$\displaystyle f'(\xi) = \frac{f(3) - f(1)}{3 -1} = \frac{27 -1 }{2} = \frac{26}{2} = 13$

より， $3\xi^2 = 13$ ．これより， $\xi = \pm \sqrt{\frac{13}{3}}$ となるが， $-\sqrt{\frac{13}{3}}$ は区間に入っていないので， $\xi = \sqrt{\frac{13}{3}}$

$\displaystyle f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1-0} = \frac{0 -1 }{1} = -1$

より， $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -1$ ．これより， $x = \sqrt{1-x^2}$ , $x^2 = 1 -x^2$

より， $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるが， $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ は区間に入っていないので， $\xi = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(a) $f(x) = x^3 - 3x + 2$ の導関数 $f'(x) = 3x^2 - 3$ より，極値の候補は， $3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0$ を満たす $x = \pm 1$ である．また， $f''(x) = 6x$ より，変曲点の候補は $6x = 0$ を満たす $x = 0$ である．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...earrow & 4 & \searrow &2 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}\end{displaymath}$

となる．これより， $x = -1$ で極大値 $f(-1) = 4$ をとり， $x = 1$ で極小値 $f(1) = 0$ をとる．曲線の凹凸は $f''(x)$ により調べることができ， $x < 0$ で上に凸， $x > 0$ で下に凸となる．最後に変曲点は，が符号を変えるところであるから， $x = 0, y = 2$ である．

(b) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ の導関数 $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ より，極値の候補は， $x^2 - 1 = 0$ を満たす $x = \pm 1$ である．また， $f''(x) = \frac{2}{x^3}$ より，変曲点の候補はない．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c} x & & -1 ... ...ine f(x) & \nearrow & -2 & \searrow & 2 & \nearrow \end{array}\end{displaymath}$

となる．これより， $x = -1$ で極大値 $f(-1) = -2$ をとり， $x = 1$ で極小値 $f(1) = 2$ をとる．曲線の凹凸は $f''(x)$ により調べることができ， $x < 0$ で上に凸， $x > 0$ で下に凸となる．

(c) $f(x) = x(x+1)(x+2)$ の導関数 $f'(x) = 3x^2 + 6x + 2$ より，極値の候補は， $3x^2 + 6x + 2 = 0$ を満たす $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{3}$ である．また， $f''(x) = 6x + 6$ より，変曲点の候補は $x = -1$ ．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...w & 0 & \searrow & -\frac{2\sqrt{3}}{9} & \nearrow \end{array}\end{displaymath}$

となる．これより， $x = -1 -\frac{1}{\sqrt{3}}$ で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとり， $x =-1+\frac{1}{\sqrt{3}}$ で極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる．曲線の凹凸は $f''(x)$ により調べることができ， $x < -1$ で上に凸， $x > -1$ で下に凸となる．最後に変曲点は，が符号を変えるところであるから， $x = -1, y = 0$ である．

(d) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の導関数 $f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$ より，極値の候補は， $1-x^2 = 0$ を満たす $x = \pm 1$ である．また， $f''(x) = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1+x^2)^3}$ より，変曲点の候補は $x = 0, \pm \sqrt{3}$ ．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...c{1}{2} & \searrow & \frac{\sqrt{3}}{4} & \searrow \end{array}\end{displaymath}$

となる．これより， $x = 1$ で極大値 $\frac{1}{2}$ をとり， $x = -1$ で極小値 $-\frac{1}{2}$ をとる．曲線の凹凸は $f''(x)$ により調べることができ， $(-\infty,-\sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ で上に凸， $(-\sqrt{3},0), (\sqrt{3},\infty)$ で下に凸となる．最後に変曲点は，が符号を変えるところであるから， $x = -\sqrt{3}, y = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ , $x = 0, y = 0$ ，と $x = \sqrt{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{4}$ である．

(e) $f(x) = \vert x-1\vert\vert x+2\vert = \left\{\begin{array}{ll} x^2 + x -2, & x \leq -2, x \geq 1\\ -(x^2 + x - 2), & -2 < x < 1 \end{array}\right.$ の導関数

$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x + 1, & x \leq -2, x \geq 1\\ -2x - 1, & -2 < x < 1 \end{array}\right.$ より，極値の候補は， $x = -\frac{1}{2}$ である．また，

$f''(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2, & x < -2, x > 1\\ -2 , & -2 < x < 1 \end{array}\right.$ より，変曲点の候補はなし．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...9}{4} & \searrow & -\frac{2\sqrt{3}}{9} & \nearrow \end{array}\end{displaymath}$

となる．これより， $x = -\frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{9}{4}$ をとる．曲線の凹凸は $f''(x)$ により調べることができ， $x < -2$ と $x > 1$ で下に凸， $-2 < x < 1$ で上に凸となる．最後に変曲点は，が符号を変えるところであるから無い．

(a) $x+y=40$ のとき， $xy$ の最大値を求める． $y = 40-x$ より， $xy = x(40-x)$ ．ここで， $f(x) = x(40-x), 0 \leq x \leq 40$ とおくと， $f'(x) = -2x + 40$ ， $f''(x) = -2$ となる．極値の候補は $f'(x) = 0$ より， $x = 20$ となり， $f''(x) < 0$ より，で極大値 $f(20) = 400$ をとる．ここで，端点での値 $f(0)= 0$ と $f(40) = 0$ と比較すると， $f(20)$ が最大値となる．

(b) $x$ 軸上の正の点を $x$ とすると，正四角形の底辺は $2x$ で高さは $f(x) = 4 -x^2$ となる．そこで，この四角形の面積を $A(x) = 2x(4-x^2), 0 \leq x \leq 2$ とおくと， $A'(x) = -6x^2 + 8$ ， $A''(x) = -12x$ となる．極値の候補は $A'(x) = 0$ より， $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ . $f''(\frac{2}{\sqrt{3}}) < 0$ より， $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ で極大値 $A(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{32\sqrt{3}}{9}$ をとる．ここで，端点での値 $A(0)= 0$ と $A(2) = 0$ と比較すると， $A(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{32\sqrt{3}}{9}$ が最大値となる．

(c) 中心 $(0,0)$ で半径4の円の方程式は $x^2 + y^2 = 4^2$ となる．ここで，正四角形の1つの頂点を第1象限にとり，その点の $x$ 座標を $x$ とすると， $y$ 座標は $\sqrt{16 - x^2}$ となる．このとき，正四角形の面積は $2x\cdot 2y$ で与えられるので，正四角形の面積を $A(x) = 4x\sqrt{16-x^2}, 0 \leq x \leq 4$ とおくと， $A'(x) = \frac{-12x^2 + 64}{\sqrt{16 -x^2}}$ , $A''(x) = \frac{12x^3 -320x}{(16-x^2)^3/2}$ となる．極値の候補は $A'(x) = 0$ より， $x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$ . $f''(\frac{4}{\sqrt{3}}) < 0$ より， $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$ で極大値 $A(\frac{4}{\sqrt{3}}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}$ をとる．ここで，端点での値 $A(0)= 0$ と $A(4) = 0$ と比較すると， $A(\frac{4}{\sqrt{3}}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}$ が最大値となる．

(d) 楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$ の接線と $y = 6 -x $ が平行のとき，最短距離を得る．の両辺を $x$ で微分すると $2x + 4y \frac{dy}{dx} = 0$ より， $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}$ ．これがと平行になるには， $\frac{-x}{y} = -1$ より， $x = 2y$ . これより， $x^2 + 2y^2 = 4y^2 + 2y^2 = 2$ となり， $y^2 = \frac{1}{3}$ , $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$ . ここで，点 $(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$ と $y = 6 -x $ の距離を求めると， $d = \frac{\vert\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - 6\vert}{\sqrt{2}} = \frac{6 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ となる．