2.4 関数の性質

1.

(a) $f(x) = x^2$は区間$[1,2]$で連続で，区間$(1,2)$で微分可能である． $f'(\xi) = 2\xi$で

$$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(1)}{2 -1} = \frac{4 -1 }{1} = 3$$

より， $\xi = \frac{3}{2}$．

(b) $f(x) = x^3$は区間$[1,3]$で連続で，区間$(1,3)$で微分可能である． $f'(\xi) = 3\xi^2$で

$$f'(\xi) = \frac{f(3) - f(1)}{3 -1} = \frac{27 -1 }{2} = \frac{26}{2} = 13$$

より， $3\xi^2 = 13$．これより， $\xi = \pm \sqrt{\frac{13}{3}}$となるが， $-\sqrt{\frac{13}{3}}$は区間に入っていないので， $\xi = \sqrt{\frac{13}{3}}$

(c) $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$は区間$[0,1]$で連続で，区間$(0,1)$で微分可能である． $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$で

$$f'(\xi) = \frac{f(1) - f(0)}{1-0} = \frac{0 -1 }{1} = -1$$

より， $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -1$．これより， $x = \sqrt{1-x^2}$, $x^2 = 1 -x^2$, $2x^2 = 1$より， $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$となるが， $-\frac{1}{\sqrt{2}}$は区間に入っていないので， $\xi = \frac{1}{\sqrt{2}}$

2.

(a) $f(x) = x^3 - 3x + 2$の導関数 $f'(x) = 3x^2 - 3$より，極値の候補は， $3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 0$を満たす$x = \pm 1$である．また， $f''(x) = 6x$より，変曲点の候補は$6x = 0$を満たす$x = 0$である．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...earrow & 4 & \searrow &2 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}$$

となる．これより，$x = -1$で極大値$f(-1) = 4$をとり，$x = 1$で極小値$f(1) = 0$をとる．曲線の凹凸は$f''(x)$により調べることができ，$x < 0$で上に凸，$x > 0$で下に凸となる．最後に変曲点は，$f''(x)$が符号を変えるところであるから， $x = 0, y = 2$である．

(b) $f(x) = x + \frac{1}{x}$の導関数 $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$より，極値の候補は， $x^2 - 1 = 0$を満たす$x = \pm 1$である．また， $f''(x) = \frac{2}{x^3}$より，変曲点の候補はない．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c} x & & -1 ... ...ine f(x) & \nearrow & -2 & \searrow & 2 & \nearrow \end{array}$$

となる．これより，$x = -1$で極大値 $f(-1) = -2$をとり，$x = 1$で極小値$f(1) = 2$をとる．曲線の凹凸は$f''(x)$により調べることができ，$x < 0$で上に凸，$x > 0$で下に凸となる．

(c) $f(x) = x(x+1)(x+2)$の導関数 $f'(x) = 3x^2 + 6x + 2$より，極値の候補は， $3x^2 + 6x + 2 = 0$を満たす $x = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{3}$である．また， $f''(x) = 6x + 6$より，変曲点の候補は$x = -1$．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...w & 0 & \searrow & -\frac{2\sqrt{3}}{9} & \nearrow \end{array}$$

となる．これより， $x = -1 -\frac{1}{\sqrt{3}}$で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$をとり， $x =-1+\frac{1}{\sqrt{3}}$で極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$をとる．曲線の凹凸は$f''(x)$により調べることができ，$x < -1$で上に凸，$x > -1$で下に凸となる．最後に変曲点は，$f''(x)$が符号を変えるところであるから， $x = -1, y = 0$である．

(d) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$の導関数 $f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$より，極値の候補は，$1-x^2 = 0$を満たす$x = \pm 1$である．また， $f''(x) = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1+x^2)^3}$より，変曲点の候補は $x = 0, \pm \sqrt{3}$．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...c{1}{2} & \searrow & \frac{\sqrt{3}}{4} & \searrow \end{array}$$

となる．これより，$x = 1$で極大値 $\frac{1}{2}$をとり，$x = -1$で極小値 $-\frac{1}{2}$をとる．曲線の凹凸は$f''(x)$により調べることができ， $(-\infty,-\sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$で上に凸， $(-\sqrt{3},0), (\sqrt{3},\infty)$で下に凸となる．最後に変曲点は，$f''(x)$が符号を変えるところであるから， $x = -\sqrt{3}, y = -\frac{\sqrt{3}}{4}$, $x = 0, y = 0$，と $x = \sqrt{3}, y = \frac{\sqrt{3}}{4}$である．

(e) $f(x) = \vert x-1\vert\vert x+2\vert = \left\{\begin{array}{ll} x^2 + x -2, & x \leq -2, x \geq 1\\ -(x^2 + x - 2), & -2 < x < 1 \end{array}\right.$ の導関数

$f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x + 1, & x \leq -2, x \geq 1\\ -2x - 1, & -2 < x < 1 \end{array}\right.$より，極値の候補は， $x = -\frac{1}{2}$である．また，

$f''(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2, & x < -2, x > 1\\ -2 , & -2 < x < 1 \end{array}\right.$より，変曲点の候補はなし．これらの点で何がおきているかを調べるため増減表を描くと，

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\ver... ...9}{4} & \searrow & -\frac{2\sqrt{3}}{9} & \nearrow \end{array}$$

となる．これより， $x = -\frac{1}{2}$で極大値 $\frac{9}{4}$をとる．曲線の凹凸は$f''(x)$により調べることができ，$x < -2$と$x > 1$で下に凸， $-2 < x < 1$で上に凸となる．最後に変曲点は，$f''(x)$が符号を変えるところであるから無い．

3.

(a) $x+y=40$のとき，$xy$の最大値を求める．$y = 40-x$より， $xy = x(40-x)$．ここで， $f(x) = x(40-x), 0 \leq x \leq 40$とおくと， $f'(x) = -2x + 40$， $f''(x) = -2$となる．極値の候補は$f'(x) = 0$より，$x = 20$となり， $f''(x) < 0$より，$x = 20$で極大値 $f(20) = 400$をとる． ここで，端点での値$f(0)= 0$と$f(40) = 0$と比較すると，$f(20)$が最大値となる．

(b) $x$軸上の正の点を$x$とすると，正四角形の底辺は$2x$で高さは $f(x) = 4 -x^2$となる．そこで，この四角形の面積を $A(x) = 2x(4-x^2), 0 \leq x \leq 2$とおくと， $A'(x) = -6x^2 + 8$， $A''(x) = -12x$となる．極値の候補は$A'(x) = 0$より， $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. $f''(\frac{2}{\sqrt{3}}) < 0$より， $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$で極大値 $A(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{32\sqrt{3}}{9}$をとる． ここで，端点での値$A(0)= 0$と$A(2) = 0$と比較すると， $A(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{32\sqrt{3}}{9}$が最大値となる．

(c) 中心$(0,0)$で半径4の円の方程式は $x^2 + y^2 = 4^2$となる．ここで，正四角形の1つの頂点を第1象限にとり，その点の$x$座標を$x$とすると，$y$座標は $\sqrt{16 - x^2}$となる．このとき，正四角形の面積は $2x\cdot 2y$で与えられるので，正四角形の面積を $A(x) = 4x\sqrt{16-x^2}, 0 \leq x \leq 4$とおくと， $A'(x) = \frac{-12x^2 + 64}{\sqrt{16 -x^2}}$, $A''(x) = \frac{12x^3 -320x}{(16-x^2)^3/2}$となる．極値の候補は$A'(x) = 0$より， $x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$. $f''(\frac{4}{\sqrt{3}}) < 0$より， $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$で極大値 $A(\frac{4}{\sqrt{3}}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}$をとる． ここで，端点での値$A(0)= 0$と$A(4) = 0$と比較すると， $A(\frac{4}{\sqrt{3}}) = \frac{64\sqrt{2}}{3}$が最大値となる．

(d) 楕円 $x^2 + 2y^2 = 2$の接線と$y = 6 -x$が平行のとき，最短距離を得る． $x^2 + 2y^2 = 2$の両辺を$x$で微分すると $2x + 4y \frac{dy}{dx} = 0$より， $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2y}$．これが$y = 6 -x$と平行になるには， $\frac{-x}{y} = -1$より，$x = 2y$. これより， $x^2 + 2y^2 = 4y^2 + 2y^2 = 2$となり， $y^2 = \frac{1}{3}$, $y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. ここで，点 $(\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$と$y = 6 -x$の距離を求めると， $d = \frac{\vert\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - 6\vert}{\sqrt{2}} = \frac{6 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$となる．