2.3 高次導関数

1.

(a) $y(t) = 4 + 3t - t^2$より，初期値$t_{0} = 0$における位置は$y(0) = 4$. 速度は $y'(0) = v(0) = 3$, 加速度は $y''(0) = a(0) = -2$

(b) $y(t) = t^3 - 6t$より，初期値$t_{0} = 0$における位置は$y(0) = 0$. 速度は $y'(0) = v(0) = -6$, 加速度は $y''(0) = a(0) = 0$. 速さは速度の絶対値より，速さは6．

(c) $${y(t) = \frac{18}{t+2}}$$より， $${y' = -\frac{18}{(t+2)^{2}}}$$, $${y'' = \frac{36}{(t+2)^{3}}}$$. 初期値$t_{0} = 0$における位置は$y(0) = 9$. 速度は $y'(0) = v(0) = -\frac{9}{2}$, 加速度は $y''(0) = a(0) = \frac{9}{2}$. 速さは $\frac{9}{2}$

2.

(a) $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$より $f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$,

$$f''(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x\frac{x}{sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1)^3}$$

(b) $f(x) = x\log{x}$より $f'(x) = log{x} + x\frac{1}{x} = \log{x} + 1$,

$$f''(x) = \frac{1}{x}$$

(c) $f(x) = e^{x}\sin{x}$より $f'(x) = e^{x}\sin{x} + e^{x}\cos{x} = e^{x}(\sin{x} + \cos{x})$,

$$f''(x) = e^{x}(\sin{x} + \cos{x}) + e^{x}(\cos{x} - \sin{x}) = 2e^{x}\cos{x}$$