2.2 導関数の計算

1.

(a) $y = x^{1/n}, x > 0$より，$x = y^{n}$．ここで，逆関数の微分法を用いると，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{ny^{n-1}} = \frac{1}{n}y^{1-n} = \frac{1}{n}(x^{\frac{1}{n}})^{1-n} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$$

(b) $y = \sqrt{x}, x > 0$より，$x = y^{2}$．ここで，逆関数の微分法を用いると，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{2y} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

2.

(a) $y = (x^2 + 1)^{2004}$は $t = x^2 + 1$と $y = t^{2004}$の合成関数である．したがって，合成関数の微分法より，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$

$$= \frac{d(t^{2003})}{dt} \frac{d(x^{2}+1)}{dx}$$

$$= 2004t^{2003} (2x) = 4008x(x^2 + 1)^{2003}$$

(b) $y = (x^2 + \frac{1}{x^2})^{3}$は $t = x^2 + \frac{1}{x^2}$と$y = t^3$の合成関数である．したがって，合成関数の微分法より，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$$

$$= \frac{d(t^3)}{dt} \frac{d(x^{2}+\frac{1}{x^2})}{dx}$$

$$= 3t^2 (2x - \frac{2}{x^3}) = 6(x^2 + \frac{1}{x^2})(x - \frac{1}{x^3})$$

(c) $y = [(2x+1)^2 + (x+1)^2 ]^3$は $t = (2x+1)^2 + (x+1)^2$と$y = t^3$の合成関数である．したがって，合成関数の微分法より，

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx} = \frac{d(t^3)}{dt} \frac{d((2x+1)^2 + (x+1)^2)}{dx}$$

ここで，$(2x+1)^2$は$u = 2x+1$と$v = u^2$の合成関数．また，$(x+1)^{2}$も$s = x+1$と$t = s^2$の合成関数である．したがって，

$$\frac{d((2x+1)^2 + (x+1)^2)}{dx} = 2(2x+1)\cdot 2 + 2(x+1) = 10x + 6 = 2(5x + 3)$$

これより，

$$\frac{dy}{dx} = 3((2x+1)^2 + (x+1)^2)^2 \cdot 2(5x + 3) = 6(5x+3)(5x^2 + 6x + 2)^2$$

3.

(a) $x = t+1$, $y = t^2 - 1$と$x,y$が媒介変数$t$で与えられているので，媒介変数の微分法より

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = 2t = 2(x-1)$$

(b) $x^2 + y^2 = 1$は中心$(0,0)$で半径１の円(単位円)を表している．そこで，極座標を用いて表すと， $x = \cos{t}$, $y = \sin{t}$と$x,y$が媒介変数$t$で表せる．したがって，媒介変数の微分法より

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos{t}}{-\sin{t}} = -\frac{x}{y}$$

4.

(a)

$$(x^2 \log{x})' \underbrace{=}_{積の微分法} (x^2)'\log{x} + x^2 (\log{x})' = 2x \log{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log{x} + x$$

(b)

$$(x^3 \sin{2x})' \underbrace{=}_{積の微分法} (x^3)'\sin{2x} + x^3 (\sin{2x})' = 3x^2 \sin{2x} + x^3 \cdot 2\cos{2x}$$

$$= 3x^2 \sin{2x} + 2x^3 \cos{2x}$$

(c)

$$(\sin^{-1}{2x})' \underbrace{=}_{合成関数の微分法} \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}}\cdot (2x)' = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$

(d)

$$(\sqrt{e^x + 1})' \underbrace{=}_{合成関数の微分法} \frac{1}{2\sqrt{e^{x} + 1}}(e^x + 1)' = \frac{e^{x}}{2\sqrt{e^x + 1}}$$

(e)

$$((\sin(x+1))^3)' \underbrace{=}_{合成関数の微分法} 3(\sin(x+1))^2 (\sin(x+1))'$$

$$= 3(\sin(x+1))^2 \cos(x+1) (x+1)'$$

$$= 3(\sin(x+1))^2 \cos(x+1)$$

(f)

$$(x\sin^{-1}{2x})' \underbrace{=}_{積の微分法} (x)'\sin^{-1}{2x} + x(\sin^{-1}{2x})'$$

$$= \sin^{-1}{2x} + x \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}}(2x)' = \sin^{-1}{2x} + \frac{2x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$