2.2 導関数の計算

(a) $y = x^{1/n}, x > 0$ より， $x = y^{n}$ ．ここで，逆関数の微分法を用いると，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{ny^{n-1}} = \frac{1}{n}y^{1-n} = \frac{1}{n}(x^{\frac{1}{n}})^{1-n} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$

(b) $y = \sqrt{x}, x > 0$ より， $x = y^{2}$ ．ここで，逆関数の微分法を用いると，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{2y} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(a) $y = (x^2 + 1)^{2004}$ は $t = x^2 + 1$

と $y = t^{2004}$ の合成関数である．したがって，合成関数の微分法より，

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{d(t^{2003})}{dt} \frac{d(x^{2}+1)}{dx}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2004t^{2003} (2x) = 4008x(x^2 + 1)^{2003}$

(b) $y = (x^2 + \frac{1}{x^2})^{3}$ は $t = x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $y = t^3$

の合成関数である．したがって，合成関数の微分法より，

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{d(t^3)}{dt} \frac{d(x^{2}+\frac{1}{x^2})}{dx}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3t^2 (2x - \frac{2}{x^3}) = 6(x^2 + \frac{1}{x^2})(x - \frac{1}{x^3})$

(c)

は

と

の合成関数である．したがって，合成関数の微分法より，

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx} = \frac{d(t^3)}{dt} \frac{d((2x+1)^2 + (x+1)^2)}{dx}$

$\displaystyle \frac{d((2x+1)^2 + (x+1)^2)}{dx} = 2(2x+1)\cdot 2 + 2(x+1) = 10x + 6 = 2(5x + 3)$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3((2x+1)^2 + (x+1)^2)^2 \cdot 2(5x + 3) = 6(5x+3)(5x^2 + 6x + 2)^2$

(a)

と

が媒介変数

で与えられているので，媒介変数の微分法より

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = 2t = 2(x-1)$

(b)

は中心

で半径１の円(単位円)を表している．そこで，極座標を用いて表すと， $x = \cos{t}$ , $y = \sin{t}$ と $x,y$

が媒介変数

で表せる．したがって，媒介変数の微分法より

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos{t}}{-\sin{t}} = -\frac{x}{y}$

$\displaystyle (x^2 \log{x})' \underbrace{=}_{積の微分法} (x^2)'\log{x} + x^2 (\log{x})' = 2x \log{x} + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log{x} + x$

$\displaystyle (x^3 \sin{2x})'$	$\displaystyle \underbrace{=}_{積の微分法}$	$\displaystyle (x^3)'\sin{2x} + x^3 (\sin{2x})' = 3x^2 \sin{2x} + x^3 \cdot 2\cos{2x}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3x^2 \sin{2x} + 2x^3 \cos{2x}$

$\displaystyle (\sin^{-1}{2x})' \underbrace{=}_{合成関数の微分法} \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}}\cdot (2x)' = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

$\displaystyle (\sqrt{e^x + 1})' \underbrace{=}_{合成関数の微分法} \frac{1}{2\sqrt{e^{x} + 1}}(e^x + 1)' = \frac{e^{x}}{2\sqrt{e^x + 1}}$

$\displaystyle ((\sin(x+1))^3)'$	$\displaystyle \underbrace{=}_{合成関数の微分法}$	$\displaystyle 3(\sin(x+1))^2 (\sin(x+1))'$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3(\sin(x+1))^2 \cos(x+1) (x+1)'$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3(\sin(x+1))^2 \cos(x+1)$

$\displaystyle (x\sin^{-1}{2x})'$	$\displaystyle \underbrace{=}_{積の微分法}$	$\displaystyle (x)'\sin^{-1}{2x} + x(\sin^{-1}{2x})'$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sin^{-1}{2x} + x \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}}(2x)' = \sin^{-1}{2x} + \frac{2x}{\sqrt{1 - 4x^2}}$