2.5 曲線の概形

1.

(a) $3x - 1 = 0$より， $x = \frac{1}{3}$は漸近線． $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x}{3x - 1} = \frac{1}{3}$より， $y = \frac{1}{3}$は漸近線．

(b) $x- 2 = 0$より，$x = 2$は漸近線． $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{x^2}{x - 2} = \pm \infty$より，$x$軸に平行な漸近線はなし．しかし， $y = x+2 + \frac{4}{x-2}$と書けるので，$y = x+2$は漸近線

(c) $x^2 - 9 = 0$より，$x = \pm 3$は漸近線． $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{2x}{x^2 - 9} = 0$より，$y = 0$は漸近線

2.

(a) $f(x) = x^{1/3}$より， $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3x^{2/3}}$. ここで， $f'(0-) = \lim_{x \to 0-}f'(x) = \infty, f'(0+) = \infty$より，点$(0,0)$で垂直接線を持っている．

(b) $f(x) = x^{2/3}$より， $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3x^{1/3}}$. ここで， $f'(0-) = \lim_{x \to 0-}f'(x) = -\infty, f'(0+) = \infty$より，点$(0,0)$で垂直カスプを持っている．

(c) $x \geq 2$のとき， $f(x) = \sqrt{x-2}$より， $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$. ここで， $f'(2+) = \lim_{x \to 2+}f'(x) = \infty$. また，$x < 2$のとき， $f(x) = \sqrt{2-x}$より， $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$. ここで， $f'(2-) = \lim_{x \to 2-}f'(x) = -\infty$. したがって，点$(2,0)$で垂直カスプを持っている．