関数の定義(definition of function)

確認問題

1.
$x$の値が1のとき$f(x)$の値を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = \vert 2-x\vert}$

(b) $\displaystyle{f(x) = 4 + 10x - x^{2}}$

(c) $\displaystyle{f(x) = 1 + \cos{(x-1)}}$

2.
次の関数の定義域と値域を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = x^{2} - 1}$ (b) $\displaystyle{g(x) = \sqrt{1-x}}$ (c) $\displaystyle{h(x) = \vert\sin{x}\vert}$

3.
$y = \frac{1}{x}$および $y = \sqrt{x}$のグラフをもとに次の関数のグラフの概形を描こう.

(a) $\displaystyle{y = \frac{1}{x} + 1}$ (b) $\displaystyle{y = \sqrt{1 - x}}$

4.
次の関数 $f(x),g(x)$ について, $(f \circ g)(x)$$g(f(x))$ を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = 2x+5,  g(x) = x^{2}}$(b) $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = \frac{1}{x}}$

(c) $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}, g(x) = \frac{1}{x^{2}}}$

5.
次の関数は1対1の関数か調べ,もしそうならば,逆関数を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = 7x - 4}$(b) $\displaystyle{f(x) = (x+1)^{3} + 2}$(c) $\displaystyle{f(x) = \frac{x}{\vert x\vert}}$

6
関数$f(x)$は, $x \in D(f)$で, $f(-x) = f(x)$を満たすとき偶関数(even function)であるといい, $f(-x) = -f(x)$を満たすとき奇関数(odd function)であるといいます.次の関数は偶関数か奇関数か調べよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = x^{3}}$(b) $\displaystyle{f(x) = x(x^{2} + 1)}$

演習問題

1.
次の規則は $1$価関数か多価関数か調べよう.

(a) $\displaystyle{y^{2} = x,  x > 0}$ (b) $\displaystyle{y^{3} = x^2}$

2.
次の関数の定義域を求め, $f(x)$ のグラフを描こう.

(a) $\displaystyle{f(x) = \sqrt{4 - x^2}}$ (b) $\displaystyle{h(x) = \sqrt{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}}$

3.
次の関数 $f(x),g(x)$ について, $(f \circ g)(x)$$g(f(x))$ を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = 2x - 1,  g(x) = x^2 + 1}$

(b) $\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{cl}
1 - x, & x \leq 0\\
x^2, & x >...
...eft\{\begin{array}{cl}
-x, & x < 1\\
1 + x, & x \geq 1
\end{array} \right.}$

4.
次の関数の逆関数を求めよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{x+2},  -2 < x}$ (b) $\displaystyle{f(x) = x^2 + 4x - 2}$

5.
次の関数は偶関数か奇関数か調べよう.

(a) $\displaystyle{f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$ (b) $\displaystyle{f(x) = \sin{x}}$

6.
次の問いに答えよう.

(a) 偶関数と偶関数の積と偶関数と奇関数の積はどうなるか.

(b) 偶関数の特徴と奇関数の特徴について述べよう.