1.1 関数

1.

(a) $x = 1$のときの $f(x) = \vert 2-x\vert$の値を求めると， $f(1) = \vert 2-1\vert = 1$

(b) $x = 1$のときの $f(x) = 4 + 10x - x^{2}$の値を求めると， $f(1) = 4 + 10 - 1 = 13$

(c) $x = 1$のときの $f(x) = 1 + \cos{(x-1)}$の値を求めると， $f(1) = 1 + \cos(0) = 1 + 1 = 2$

2.

(a) すべての実数$x$に対して$x^{2} - 1$は実数となる．したがって， $f(x) = x^{2} - 1$の定義域は $(-\infty,\infty)$．

すべての$x$に対して， $x^{2} - 1 \geq -1$が成り立つ．したがって， $f(x) = x^{2} - 1$の値域は $[-1, \infty)$．

(b) $\sqrt{x - 1}$は$x-1<0$のとき定義されない．したがって， $f(x) = \sqrt{x-1}$の定義域は $x - 1 \geq 0$．つまり， $[1, \infty)$．

定義域内のすべての$x$に対して， $\sqrt{x-1} \geq 0$が成り立つ．したがって， $f(x) = \sqrt{x-1}$の値域は $[0,\infty)$．

(c) すべての実数$x$に対して$\vert\sin{x}\vert$は実数となる．したがって， $f(x) = \vert\sin{x}\vert$の定義域は $(-\infty,\infty)$．

すべての$x$に対して， $0 \leq \vert\sin{x}\vert \leq 1$が成り立つ．したがって， $f(x) = \vert\sin{x}\vert$の値域は$[0,1]$．

3.

(a) $y = f(x) + c$は$y = f(x)$のグラフを$c$だけ$y$軸正の方向に平行移動．

(b) $y = f(x - a)$は$y = f(x)$のグラフを$a$だけ$x$軸正の方向に平行移動．

4.

(a) $f(x) = 2x+5$より， $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(g(x))+5$　ここで， $g(x) = x^{2}$より， $(f \circ g)(x) = 2x^{2} + 5$

また， $g(f(x)) = (f(x))^{2} = (2x+5)^{2}$

(b) $f(x) = \frac{1}{x}$より,　 $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{1}{g(x)}$　ここで， $g(x) = \frac{1}{x}$より，

$$(f \circ g)(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$$

また， $g(f(x)) = \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$

(c) $f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$より,　 $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x)+1}$　ここで， $g(x) = \frac{1}{x^{2}}$より，

$$(f \circ g)(x) = \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x)+1} = x^{2} - \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 1} = x^{2} - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$$

$$= \frac{x^{4} + x^{2} - x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{x^{4}}{1 + x^{2}}$$

$f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$より， $g(f(x)) = \frac{1}{(f(x))^{2}} = x^{2}(x+1)^{2}$

5.

(a) $f(x) = 7x - 4$は1対1の関数であることを示す．つまり， $f(a) = f(b)$ならば，$a = b$を示せばよい．

$$f(a) = f(b) \Rightarrow 7a - 4 = 7b - 4$$

$$\Rightarrow 7a = 7b$$

$$\Rightarrow a = b$$

したがって， $f(x) = 7x - 4$にはただ1つの逆関数が存在する． $f(x) = 7x - 4$の逆関数$f^{-1}(x)$は $f(f^{-1}(x)) = x$を満たす．したがって， $7f^{-1}(x) - 4 = x$より， $f^{-1}(x) = \frac{x+4}{7}$

(b) $f(x) = (x+1)^{3} + 2$は1対1の関数であることを示す．つまり， $f(a) = f(b)$ならば，$a = b$を示せばよい．

$$f(a) = f(b) \Rightarrow (a+1)^{3} + 2 = (b+1)^{3} + 2$$

$$\Rightarrow (a+1)^{3} = (b+1)^{3}$$

$$\Rightarrow (a+1)^{3} - (b+1)^{3} = 0$$

$$\Rightarrow (a-b)((a+1)^{2} + (a+1)(b+1) + (b+1)^{2}) = 0$$

ここで， $(a+1)^{2} + (a+1)(b+1) + (b+1)^{2} = ((a+1) + (\frac{b+1}{2}))^{2} + \frac{3(b+1)^{2}}{4}$より，どんな実数$a,b$でも0にならない．したがって，$a = b$が成り立つ．

次に， $f(x) = (x+1)^{3} + 2$の逆関数$f^{-1}(x)$を求める． $f(f^{-1}(x)) = x$より $y = f^{-1}(x)$とおくと， $f(y) = (y+1)^{3} + 2 = x$となる．この式を$y$について求めればよい．

$$(y+1)^3 + 2 = x \Rightarrow (y + 1)^3 = x - 2$$

$$\Rightarrow y+1 = \sqrt[3]{x-2}$$

$$\Rightarrow y = \sqrt[3]{x-2} - 1$$

(c) $f(x) = \frac{x}{\vert x\vert}$は2つの異なる値$x = 1, 2$に対して， $f(1) = 1, f(2) = 1$となるので，1対1の関数ではない．

6.

(a) $f(x) = x^{3}$より $f(-x) = (-x)^{3} = -x^{3} = -f(x)$．したがって，奇関数である．

(b) $f(x) = x(x^{2} + 1)$より $f(-x) = (-x)((-x)^{2} + 1) = -x(x^{2}+1) = -f(x)$．したがって，奇関数である．