1.2 初等関数

(a) $30^{\circ}$ を弧度法に直すには， $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad$ を用いる．よって， $30^{\circ} = (30)\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ となる．

(b) $40^{\circ}$ を弧度法に直すには， $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad$ を用いる．よって， $40^{\circ} = (40)\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{9}$ となる．

(c) $72^{\circ}$ を弧度法に直すには， $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad$ を用いる．よって， $72^{\circ} = (72)\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ となる．

(a) 直線と $x$ 軸とのなす角は，直線の傾きより求める． $y = \sqrt{3}x$ の傾きは $\sqrt{3}$ ．つまり， $x$ 軸方向に1変化すると $y$ 軸方向に $\sqrt{3}$ 変化する．これより，1:2: $\sqrt{3}$ の直角三角形を思い起こすと， $x$ 軸と直線のなす角は $\frac{\pi}{3}$ となる．

(b) 直線と $x$ 軸とのなす角は，直線の傾きより求める． $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ の傾きは $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．つまり， $x$ 軸方向に $\sqrt{3}$ 変化すると $y$ 軸方向に $1$ 変化する．これより，1:2: $\sqrt{3}$ の直角三角形を思い起こすと， $x$ 軸と直線のなす角は $\frac{\pi}{6}$ となる．

(a) 次のような図を用いると簡単になる．

$\begin{figure}\includegraphics[width=5cm]{CALCFIG/ren1-2-3a.eps} \end{figure}$

$\cos{\theta}$ が $\sqrt{3}/2$ より大きい $\theta$ の範囲を求めたいので，単位円を描き， $x$

の値が $\sqrt{3}/2$ より大きくなる範囲を求めればよい．そこで， $x$

軸上に $\sqrt{3}/2$ の点をとり， $y$

軸に平行にこの点を通るように直線を引く．この直線と単位円の交点に原点から直線を引く．これで， $\theta$ の範囲は $[0,\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6},2\pi]$ となる．

(b) 次のような図を用いると簡単になる．

$\begin{figure}\includegraphics[width=5cm]{CALCFIG/ren1-2-3b.eps} \end{figure}$

$\tan{\theta}$ が $1/\sqrt{3}$ より大きい $\theta$ の範囲を求めたいので，単位円を描き，傾き $1/\sqrt{3}$ の直線を引く．この直線と単位円の交点から $y$

軸までの間， $tan{\theta} > 1/\sqrt{3}$ を満たす．したがって， $\theta$ の範囲は $(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2})$ となる．

$\begin{figure}\includegraphics[width=5cm]{CALCFIG/ren1-2-3c.eps} \end{figure}$

$\sin{\theta}$ が $1/2$

より大きい $\theta$ の範囲と $\sin{\theta}$ が $\sqrt{3}/2$ より小さい範囲の積集合を求めればよい．そこで， $y$

軸上に

と $\sqrt{3}/2$ の点をとり， $x$

軸に平行にこれらの点を通るように直線を引く．これらの直線と単位円の交点に原点から直線を引く．これで， $\theta$ の範囲は $(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6})$ となる．

(a) $y = \tan^{-1}{0}$ とおくと

$\displaystyle 0 = \tan{y}, -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

これを満たす

は0しかないので、 $\displaystyle{\tan^{-1}{0} = 0}$

(b) $y = \sin^{-1}{\frac{1}{2}}$ とおくと

$\displaystyle \frac{1}{2} = \sin{y}, -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

これを満たす

は $\pi/6$ しかないので、 $\displaystyle{\sin^{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}}$

$\displaystyle \frac{1}{2} = \cos{y}, 0 \leq y \leq \pi$

これを満たす

は $\pi/3$ しかないので、 $\displaystyle{\cos^{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3}}$ . これより、 $\displaystyle{\sin \left(\cos^{-1}\frac{1}{2}\right) = \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}}$