1.2 初等関数

1.

(a) $30^{\circ}$を弧度法に直すには， $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad$を用いる．よって， $30^{\circ} = (30)\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$となる．

(b) $40^{\circ}$を弧度法に直すには， $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad$を用いる．よって， $40^{\circ} = (40)\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{9}$となる．

(c) $72^{\circ}$を弧度法に直すには， $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}rad$を用いる．よって， $72^{\circ} = (72)\frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$となる．

2.

(a) 直線と$x$軸とのなす角は，直線の傾きより求める． $y = \sqrt{3}x$の傾きは$\sqrt{3}$．つまり，$x$軸方向に1変化すると$y$軸方向に$\sqrt{3}$変化する．これより，1:2:$\sqrt{3}$の直角三角形を思い起こすと，$x$軸と直線のなす角は $\frac{\pi}{3}$となる．

(b) 直線と$x$軸とのなす角は，直線の傾きより求める． $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$の傾きは $\frac{1}{\sqrt{3}}$．つまり，$x$軸方向に$\sqrt{3}$変化すると$y$軸方向に$1$変化する．これより，1:2:$\sqrt{3}$の直角三角形を思い起こすと，$x$軸と直線のなす角は $\frac{\pi}{6}$となる．

3.

(a) 次のような図を用いると簡単になる．

$\cos{\theta}$が $\sqrt{3}/2$より大きい$\theta$の範囲を求めたいので，単位円を描き，$x$の値が $\sqrt{3}/2$より大きくなる範囲を求めればよい．そこで，$x$軸上に $\sqrt{3}/2$の点をとり，$y$軸に平行にこの点を通るように直線を引く．この直線と単位円の交点に原点から直線を引く．これで，$\theta$の範囲は $[0,\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{11\pi}{6},2\pi]$となる．

(b) 次のような図を用いると簡単になる．

$\tan{\theta}$が $1/\sqrt{3}$より大きい$\theta$の範囲を求めたいので，単位円を描き，傾き $1/\sqrt{3}$の直線を引く．この直線と単位円の交点から$y$軸までの間， $tan{\theta} > 1/\sqrt{3}$を満たす．したがって，$\theta$の範囲は $(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2})$となる．

(c) 次のような図を用いると簡単になる．

$\sin{\theta}$が$1/2$より大きい$\theta$の範囲と $\sin{\theta}$が $\sqrt{3}/2$より小さい範囲の積集合を求めればよい．そこで，$y$軸上に$1/2$と $\sqrt{3}/2$の点をとり，$x$軸に平行にこれらの点を通るように直線を引く．これらの直線と単位円の交点に原点から直線を引く．これで，$\theta$の範囲は $(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}) \cup (\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6})$となる．

4.

(a) $y = \tan^{-1}{0}$とおくと

$$0 = \tan{y}, -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

これを満たす$y$は0しかないので、 $${\tan^{-1}{0} = 0}$$

(b) $y = \sin^{-1}{\frac{1}{2}}$とおくと

$$\frac{1}{2} = \sin{y}, -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$$

これを満たす$y$は$\pi/6$しかないので、 $${\sin^{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}}$$

(c) $y = \cos^{-1}{\frac{1}{2}}$とおくと

$$\frac{1}{2} = \cos{y}, 0 \leq y \leq \pi$$

これを満たす$y$は$\pi/3$しかないので、 $${\cos^{-1}{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3}}$$. これより、 $${\sin \left(\cos^{-1}\frac{1}{2}\right) = \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$