0.2 不等式(INEQUALITIES)

(a) 両辺から2を引いて左辺にxの項だけを残す

$\displaystyle 2+3x$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle 3x$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle 5 - 2$
$\displaystyle x$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle 1$

したがって， $(-\infty,1]$

(b) 両辺に2と3の最小公倍数6をかけて，分母を払う．

$\displaystyle \frac{1}{2}(1+x)$	$\displaystyle <$	$\displaystyle \frac{1}{3}(1 - x)$
$\displaystyle 3(1+x)$	$\displaystyle <$	$\displaystyle 2(1-x)$
$\displaystyle 3 + 3x$	$\displaystyle <$	$\displaystyle 2 - 2x$
$\displaystyle 3x + 2x$	$\displaystyle <$	$\displaystyle 2 - 3$
$\displaystyle 5x$	$\displaystyle <$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x$	$\displaystyle <$	$\displaystyle -\frac{1}{5}$

したがって， $(-\infty,-\frac{1}{5})$

$\displaystyle 4(x^{2} - 3x + 2)$	$\displaystyle >$	0
$\displaystyle x^{2} - 3x + 2$	$\displaystyle >$	0
$\displaystyle (x - 1)(x - 2)$	$\displaystyle >$	0

ここで，積

が0になるのは，1と2である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける．これにより，数直線は次の3つの区間に分割される．

$\displaystyle (-\infty, 1), (1,2), (2, \infty)$

これらの区間内では，積 $(x-1)(x-2)$

の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, 1)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)] = (-)(-) = +$
	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)] = (+)(-) = -$
$(2, \infty)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)] = (+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ となる．

(d) 両辺に $x^{2}$ をかけて分母を払う．

$\displaystyle \frac{1}{x}$	$\displaystyle <$	$\displaystyle x$
$\displaystyle x$	$\displaystyle <$	$\displaystyle x^{3}$
0	$\displaystyle <$	$\displaystyle x^{3} - x$
0	$\displaystyle <$	$\displaystyle x(x+1)(x-1)$

ここで，積

が0になるのは，-1,0と1である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける．これにより，数直線は次の4つの区間に分割される．

$\displaystyle (-\infty, -1), (-1,0), (0,1), (1, \infty)$

これらの区間内では，積 $x(x+1)(x-1)$

の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, -1)$	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (-)(-)(-) = -$
	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (-)(+)(-) = +$
	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (+)(+)(-) = -$
$(1, \infty)$	${\rm sgn}[x(x+1)(x-1)] = (+)(+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(-1,0) \cup (1, \infty)$ となる．

(e) 両辺に $(x+1)^{2}$ をかけて分母を払う．

$\displaystyle \frac{x^{2} - 9}{x+1}$	$\displaystyle >$	0
$\displaystyle (x^{2}-9)(x+1)$	$\displaystyle >$	0
$\displaystyle (x+3)(x-3)(x+1)$	$\displaystyle >$	0

ここで，積

が0になるのは，-3,-1と3である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける．これにより，数直線は次の4つの区間に分割される．

$\displaystyle (-\infty, -3), (-3,-1), (-1,3), (3, \infty)$

これらの区間内では，積 $(x+3)(x-3)(x+1)$

の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, -3)$	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (-)(-)(-) = -$
	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (+)(-)(-) = +$
	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (+)(-)(+) = -$
$(3, \infty)$	${\rm sgn}[(x+3)(x-3)(x+1)] = (+)(+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(-3,1) \cup (3, \infty)$ となる．

(f) 分母を通分すると，

$\displaystyle \frac{5x-10}{(x-1)(x-6)} = \frac{5(x-2)}{(x-1)(x-6)} > 0$

両辺に $(x-1)^{2}(x-6)^{2}$ をかけて分母を払う．

$\displaystyle \frac{5(x-2)}{(x-1)(x-6)} > 0$	$\displaystyle >$	0
$\displaystyle 5(x-2)(x-1)(x-6)$	$\displaystyle >$	0

ここで，積

が0になるのは，1,2と6である．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付ける．これにより，数直線は次の4つの区間に分割される．

$\displaystyle (-\infty, 1), (1,2), (2,6), (6, \infty)$

これらの区間内では，積 $(x-1)(x-2)(x-6)$

の符号(sgn)は変わらない．

$(-\infty, 1)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (-)(-)(-) = -$
	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (+)(-)(-) = +$
	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (+)(+)(-) = -$
$(6, \infty)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-2)(x-6)] = (+)(+)(+) = +$

これより，不等式の解は $(1,2) \cup (6, \infty)$ となる．

2. 両辺を2乗する．

$\displaystyle \frac{x}{x+1}, \frac{x+1}{x+2}$

このとき，2つの値は正なので，2乗してもその大小関係は変わらない．分母をそろえると，

$\displaystyle \frac{x^{2} + 2x}{(x+1)(x+2)}, \frac{x^{2} + 2x +1}{(x+1)(x+2)}$

これより， $\displaystyle{\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}}$ のほうが大きい．

(a) $\vert x\vert < 2$ とは $-2 < x < 2$ のことである．したがって，不等式の解は $(-2,2)$ ．

(b) $\vert x + 2\vert < \frac{1}{4}$ とは， $-\frac{1}{4} < x + 2 < \frac{1}{4}$ のことである．これより， $-\frac{9}{4} < x < -\frac{7}{4}$ ．したがって，不等式の解は $(-\frac{9}{4}, -\frac{7}{4})$

(c) $0 < \vert x-3\vert < 8$ とは， $0 < \vert x-3\vert$ かつ $\vert x-3\vert < 8$ のことである． $0 < \vert x-3\vert$ とは $x \neq 3$ のことである．また， $\vert x-3\vert < 8$ とは， $-8 < x-3 < 8$ ，つまり， $-5 < x < 11$ のことである．これより， $-5 < x < 3$ または $3 < x < 11$ となる．したがって，不等式の解は $(-5, 3) \cup (3, 11)$

(d) $\vert 2x + 5\vert > 3$ とは， $3 < 2x+5$ または $2x＋5 < -3$ のことである．を解くと $-2 < 2x$ より $-1 < x$ となる．また，を解くと， $2x < -8$ より $x < -4$ となる，したがって，不等式の解は $(-\infty,-4) \cup (-1, \infty)$

4. $\vert a - b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$ が成り立つことを示す． $\vert x\vert$ を $\sqrt{x^{2}}$ とおくと，

$\displaystyle \vert a-b\vert^{2} = (a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} \leq \vert a... ...\vert a\vert\vert b\vert + \vert b\vert^{2} = (\vert a\vert + \vert b\vert)^{2}$

ここで，両辺の平方根をとると

$\displaystyle \vert a-b\vert \leq \vert a + b\vert$