1.1 関数(FUNCTIONS)

(a) それぞれ異なる $x$

に対して，求めることのできる実数 $y$

は $\displaystyle{y = \pm x}$ と2つのyが対応しているので2価関数

(b) $\displaystyle{y = x^{\frac{2}{3}}}$ となり，実数の値をとる3乗根は1つしかないので，1価関数

(a) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるような $x$

の集合のこと. よって $D(f) = [-2,2]$

(b) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるような $x$

の集合のこと. $\displaystyle{D(h) = (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3}]}$

$\displaystyle (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1$

$\displaystyle (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x-1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2$

(b) $f \circ g$ が意味を持つには $g(x)$

の値域が

の定義域に含まれていなければならない．そこで， $g(x)$

の値域を調べる．

$\displaystyle g(x) = \left\{\begin{array}{cl} -x, & x < 1\\ 1 + x, & x \geq 1 \end{array} \right.$

ならば，

．また， $0 \leq x < 1$ ならば， $g(x) \leq 0$ ．よって $x < 0$

のとき，

を用い， $0 \leq x < 1$ のとき， $f(x) = 1 - x$

を用いる．よって

$\displaystyle f(g(x)) = g(x)^2 = (-x)^2 = x^2, x < 0$

$\displaystyle f(g(x)) = 1 - g(x) = 1 - (-x) = 1 + x, 0 \leq x < 1$

$\displaystyle f(g(x)) = g(x)^2 = (1 + x)^2 , x \geq 1$

$\displaystyle (f \circ g)(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2 & x < 0\\ 1 + x & 0 \leq x < 1\\ (1 + x)^2 & x \geq 1 \end{array} \right.$

$\displaystyle (g \circ f)(x) = \left\{\begin{array}{cl} 2 - x & x \leq 0\\ - x^2 & 0 < x < 1\\ 1 + x^2 & x \geq 1 \end{array} \right.$

$\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2})$	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle \frac{1}{x_{1} + 2} = \frac{1}{x_{2} + 2}$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle x_{1} + 2 = x_{1} + 2$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle x_{1} = x_{2}$

$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = f(y) = \frac{1}{y + 2} = x$

(b) この関数は1対1の関数ではない．なぜならば， $f(x) = x^2 + 4x - 2 = (x + 2)^2 - 6$

より，

軸対称．よって，逆関数は存在しない．ただ， $f(x)$

が1対1の関数となるように定義域を $\{x < -2\} \cup \{x \geq 2\}$ と表わすと，これらの定義域において，

$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = f(y) = y^2 + 4y - 2 = x$

(a) $\displaystyle{f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$ より $\displaystyle{f(-x) = \frac{(-x)^{2}}{1 - \vert-x\vert} = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert} = f(x)}$ ．したがって，偶関数である．