1.1 関数(FUNCTIONS)

1.

(a) それぞれ異なる$x$に対して,求めることのできる実数$y$ $\displaystyle{y = \pm x}$と2つのyが対応しているので2価関数

(b) $\displaystyle{y = x^{\frac{2}{3}}}$となり,実数の値をとる3乗根は1つしかないので,1価関数

2.

(a) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるような$x$の集合のこと. よって $D(f) = [-2,2]$

(b) 定義域は関数f(x)の値が実数をとるような$x$の集合のこと. $\displaystyle{D(h) = (-\infty,-\frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3}]}$

3.

(a)

$\displaystyle (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 1 = 2x^2 + 1 $

$\displaystyle (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x-1)^2 + 1 = 4x^2 - 4x + 2 $

(b) $f \circ g$が意味を持つには$g(x)$の値域が$f(x)$の定義域に含まれていなければならない.そこで,$g(x)$の値域を調べる.

$\displaystyle g(x) = \left\{\begin{array}{cl}
-x, & x < 1\\
1 + x, & x \geq 1
\end{array} \right. $

より$x < 1$のとき, $g(x) = - x > -1$.これが$f(x)$の定義域に含まれるので,$g(x) > 0$の場合と $g(x) \leq 0$の場合に分ける.

$x < 0$ならば,$g(x) > 0$.また, $0 \leq x < 1$ならば, $g(x) \leq 0$.よって $x < 0$のとき, $f(x) = x^2$を用い, $0 \leq x < 1$のとき, $f(x) = 1 - x$を用いる.よって

$\displaystyle f(g(x)) = g(x)^2 = (-x)^2 = x^2,  x < 0 $

$\displaystyle f(g(x)) = 1 - g(x) = 1 - (-x) = 1 + x,  0 \leq x < 1 $

次に,$x \geq 1$のとき, $g(x) = 1 + x > 2$.これが$f(x)$の定義域に含まれるので, $f(x) = 1 - x,  x \leq 0$を用いる.よって

$\displaystyle f(g(x)) = g(x)^2 = (1 + x)^2 ,  x \geq 1 $

まとめると

$\displaystyle (f \circ g)(x) = \left\{\begin{array}{cl}
x^2 & x < 0\\
1 + x & 0 \leq x < 1\\
(1 + x)^2 & x \geq 1
\end{array} \right. $

同様に,

$\displaystyle (g \circ f)(x) = \left\{\begin{array}{cl}
2 - x & x \leq 0\\
- x^2 & 0 < x < 1\\
1 + x^2 & x \geq 1
\end{array} \right.$

4.

(a) まず,この関数が1対1の関数であることを示す.

$\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2})$ $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{1}{x_{1} + 2} = \frac{1}{x_{2} + 2}$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x_{1} + 2 = x_{1} + 2$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x_{1} = x_{2}$  

次に $f(f^{-1}(x)) = x$ を用る.

$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = f(y) = \frac{1}{y + 2} = x $

これを $y$ について解くと $\displaystyle{y + 2 = \frac{1}{x}}$.よって $\displaystyle{y = f^{-1}(x) = \frac{1}{x} - 2}$ となる.

(b) この関数は1対1の関数ではない.なぜならば, $f(x) = x^2 + 4x - 2 = (x + 2)^2 - 6$より,$y$軸対称.よって,逆関数は存在しない.ただ,$f(x)$が1対1の関数となるように定義域を $\{x < -2\} \cup \{x \geq 2\}$と表わすと,これらの定義域において,

$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = f(y) = y^2 + 4y - 2 = x $

これを $y$ について解くと $\displaystyle{y = -2 + \sqrt{x + 6}  (x \geq -6)  y = -2 - \sqrt{x + 6}  (x \geq -6)}$

5.

(a) $\displaystyle{f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$より $\displaystyle{f(-x) = \frac{(-x)^{2}}{1 - \vert-x\vert} = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert} = f(x)}$.したがって,偶関数である.

(b) $f(x) = \sin{x}$より $f(-x) = \sin(-x) = -\sin{x}$.したがって,奇関数である.

6.

(a) $f(x)$$g(x)$を偶関数とする.つまり, $f(-x) = f(x), g(-x) = g(x)$を満たす.このとき, $(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = (fg)(x)$となるので,偶関数と偶関数の積は偶関数.

次に, $f(-x) = f(x), h(-x) = -h(x)$を満たすとする.このとき, $(fh)(-x) = f(-x)h(-x) = f(x)(-h(x)) = -f(x)h(x) = -(fh)(x)$となるので,偶関数と奇関数の積は奇関数.

(b) 偶関数は $f(-x) = f(x)$を満たす.これはグラフで考えると,$y$軸を対称にして関数の値が等しいことを表している.つまり,偶関数は$y$軸対称である.

次に,奇関数は $f(-x) = -f(x)$を満たす.これはグラフで考えると,原点を中心にして対象になっていることを表している.つまり,奇関数は原点対象である.