定積分の応用(applications of definite integral)

確認問題

1.

次の曲線で囲まれる図形の面積を求めよう．

(a) $${y = x^{2} , y = x + 2}$$ (b) $${y = x^{3}, y = x^{2}}$$ (c) $${y = - \sqrt{x}, y = x - 6, y = 0}$$

(d) $${y = x^{3} - x, y = 1 - x^{2}}$$ (e) $${x+4 = y^{2}, x = 5}$$

(f) $${y = 2x, x+y = 9, y = x-1}$$

2.

次の曲線で囲まれる平面図形を $x$ 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよう．

(a) $${y = x, y = 0, x = 1}$$ (b) $${y = x^{2}, y = 9}$$ (c) $${y = \sqrt{x}, y = x^{3}}$$

(d) $${y = x^{2} , y = x + 2}$$

3.

次の曲線の長さを求めよう．

(a) $${y = 2x + 3}$$ の$x = 0$から$x = 2$まで (b) $${y = x^{3/2}}$$ の$x = 0$から$x = 44$まで (c) $${x(t) = t^{2}, y(t) = 2t}$$ の$t = 0$から $t = \sqrt{3}$まで

(d) $${r = e^{\theta}}$$ の $\theta = 0$から $\theta = 4\pi$まで

演習問題

1.

次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよう．

(a) $${x = y^{2} , x = 3 -2y^{2}}$$ (b) $${x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t}, (0 \leq t \leq \pi)}$$ と$x$軸

2.

次の平面図形を $x$ 軸の回りに回転してできる回転体の体積を求めよう．

(a) $${x^{2}+ (y-2)^{2} \leq 1}$$

(b) $${ x = t - \sin{t}, y = 1 - \cos{t}, 0 \leq t \leq 2\pi}$$ と $x$ 軸で囲まれる部分．

3.

次の曲線の長さを求めよう．

(a) $${x^{2/3} + y^{2/3} = 1}$$ の全長 (b) $${\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1}$$ の全長 (c) $${r = 1+\cos{\theta}}$$ の全