3.10 定積分の応用

1.

(a) $y = x^2$と$y = x+2$の交点を求めると $x^2 - x- 2 = (x + 1)(x-2) = 0$より$x = -1, 2$となる．つまり，この2つの曲線は点$(-1,1)$と点$(2,4)$で交わっている．そこでこの図形の面積は縦方向の長方形の面積$\Delta A$の和として考える．$x$軸に垂直な直線でこの図形を切断するとその高さは，上側の曲線 - 下側の曲線で与えられ，また幅は$x$軸方向への小さな幅となるので $\Delta x$で与えられる．よって

$$\Delta A = (x+2-x^2) \Delta x$$

となる．これより求める面積$A$は

$$A = \int_{-1}^{2}(x+2-x^2)dx = [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$$

$$= 2 + 4 - \frac{8}{3} - (\frac{1}{2} -2 + \frac{1}{3}) = 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2}$$

$$= 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$

(b) $y = x^3$と$y = x^2$の交点を求めると $x^2 - x^2 = x^2(x-1) = 0$より$x = 0,1$となる．つまり，この2つの曲線は点$(0,0)$と点$(1,1)$で交わっている．そこでこの図形の面積は縦方向の長方形の面積$\Delta A$の和として考える．$x$軸に垂直な直線でこの図形を切断するとその高さは，上側の曲線 - 下側の曲線で与えられ，また幅は$x$軸方向への小さな幅となるので $\Delta x$で与えられる．よって

$$\Delta A = (x^2 - x^3) \Delta x$$

となる．これより求める面積$A$は

$$A = \int_{0}^{1}(x^2 - x^3)dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1}$$

$$= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{12}$$

(c) $y = -\sqrt{x}$と$y = x-6$の交点を求めると $x - 6 + \sqrt{x} = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3) = 0$より $\sqrt{x} = 2, -3$となる．しかし，$\sqrt{x}$は負の値を取らないので， $\sqrt{x} = 2$．したがって，$x = 4$．つまり，この2つの曲線は点$(4,-2)$で交わっている．次に，$y = x-6$と$y = 0$の交点を求めると，$(6,0)$．最後に， $y = \sqrt{x}$と$y = 0$の交点を求めると$(0,0)$となる．そこでこの図形の面積を縦方向の長方形の面積$\Delta A$の和として考える．$x$軸に垂直な直線でこの図形を切断するとその高さは，上側の曲線 - 下側の曲線で与えられ，また幅は$x$軸方向への小さな幅となるので $\Delta x$で与えられる．よって区間$[0,4]$では

$$\Delta A = \sqrt{x} \Delta x$$

また，区間$[4,6]$では

$$\Delta A = -(x-6) \Delta x$$

となる．これより求める面積$A$は

$$A = \int_{0}^{4}\sqrt{x};dx + \int_{4}^{6}-(x-6)\;dx$$

$$= [\frac{2}{3}x^[\frac{3}{2}]_{0}^{4} - [\frac{x^2}{2} - 6x]_{4}^{6}$$

$$= \frac{16}{3} - {18 - 36 - (8 - 24)}$$

$$= \frac{16}{3} + 2 = \frac{22}{3}$$

(d) $y = x^3 - x$と $y = 1 - x^2$の交点を求めると

$$x^3 - x - 1 + x^2 = x^3 + x^2 - x- 1 = x^2(x+1) - (x+1)$$

$$= (x^2 - 1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2 = 0$$

より，$x = -1,1$となる．つまり，この2つの曲線は点$(-1,0)$と点$(1,0)$で交わっている．そこでこの図形の面積を縦方向の長方形の面積$\Delta A$の和として考える．$x$軸に垂直な直線でこの図形を切断するとその高さは，上側の曲線 - 下側の曲線で与えられ，また幅は$x$軸方向への小さな幅となるので $\Delta x$で与えられる．よって

$$\Delta A = (1 - x^2 - (x^3 - x)) \Delta x$$

となる．これより求める面積$A$は

$$A = \int_{-1}^{1}(-x^3 - x^2 + x + 1)dx = \int_{-1}^{1}(-x^2 + 1)\;dx$$

$$= 2\int_{0}^{1}(-x^2 + 1)\;dx = 2[-\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{1}$$

$$= 2(-\frac{1}{3} + 1) = 2(\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$$

(e) $x + 4 = y^2$と$x = 5$の交点を求めると $y^2 - 4 - 5 = y^2 - 9 = (y+3)(y-3) = 0$ より，$y = -3,3$となる．つまり，この2つの曲線は点$(-3,5)$と点$(3,5)$で交わっている．そこでこの図形の面積を横方向の長方形の面積$\Delta A$の和として考える．$y$軸に垂直な直線でこの図形を切断するとその幅は，左側の曲線 - 右側の曲線で与えられ，また高さは$y$軸方向への小さな幅となるので $\Delta y$で与えられる．よって

$$\Delta A = (5 - (y^2 - 4)) \Delta y$$

となる．これより求める面積$A$は

$$A = \int_{-3}^{3}(5 - (y^2 - 4))\;dy = \int_{-3}^{3}(9 - y^2)\;dy$$

$$= 2\int_{0}^{3}(9 - y^2)\;dy = 2[9y -\frac{y^3}{3} + x]_{0}^{3}$$

$$= 2(27 -\frac{27}{3}) = 2(27 - 9) = 36$$

(f) $y = 2x$と$x+y=9$の交点を求めると $2x - 9 + x = 3x - 9 = 0$ より，$x = 3$となる．つまり，この2つの曲線は点$(3,6)$で交わっている．次に，$y = 2x$とy$y = x-1$の交点を求めると $2x - x + 1 = x + 1 = 0$より，点$(-1,-2)$で交わる．最後に，$x+y=9$と$y = x-1$の交点を求めると $x-1-9+x = 2x - 10 = 0$より点$(5,4)$で交わる．そこでこの図形の面積を縦方向の長方形の面積$\Delta A$の和として考える．$x$軸に垂直な直線でこの図形を切断するとその高さは，上側の曲線 - 下側の曲線で与えられ，また高さは$x$軸方向への小さな幅となるので $\Delta x$で与えられる．よって区間$[-1,3]$では，

$$\Delta A = 2x - (x-1) \Delta x$$

区間$[3,5]$では，

$$\Delta A = 9-x-(x-1)\; \Delta x$$

となる．これより求める面積$A$は

$$A = \int_{-1}^{3}(2x-(x-1))\;dx + \int_{3}^{5}(9-x-(x-1))\;dx$$

$$= \int_{-1}^{3}(x+1)\;dx + \int_{3}^{5}(-2x + 10)\;dx$$

$$= [\frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{3} + [-x^2 + 5x]_{3}^{5}$$

$$= \frac{9}{2} + 3 - (\frac{1}{2} - 1) + (-25 + 25 - (-9 + 15))$$

$$= 4 + 4 - 6 = 2$$

2.

(a)

$y = x$と$y = 0$の交点を求めると$(0,0)$．また，$y = x$と$x = 2$の交点を求めると$(2,2)$． 回転軸に垂直な平面で切断すると，その断面は円盤になる．円盤の面積は$\pi r^2$． よって，$x$軸上の任意の点$x$における断面積$A$は

$$A = \pi y^2 = \pi x^2.$$

したがって，これに少しの厚み$\Delta x$をつけると，その体積$\Delta V$は

$$\Delta V = A \Delta x = \pi x^2 \Delta x$$

となるので，求める体積は

$$V = \int_{0}^{2} \pi x^2\; dx = [\frac{\pi x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{\pi}{3}$$

(b)

$y = x^2$と$y = 9$の交点を求めると，$x^2 = 9$より，$(-3,9)$と$(3,9)$となる． 回転軸に垂直な平面で切断すると，その断面はワッシャーになる． よって，$x$軸上の任意の点$x$における断面積$A$は

$$A = \pi 9^2 - \pi (x^2)^2 = \pi (81 - x^4).$$

したがって，これに少しの厚み$\Delta x$をつけると，その体積$\Delta V$は

$$\Delta V = A \Delta x = \pi (81 - x^4) \Delta x$$

となるので，求める体積は

$$V = \pi \int_{-3}^{3}(81 - x^4)\; dx = 2\pi \int_{0}^{3}(81 - x^4)\; dx$$

$$= 2\pi [81x - \frac{x^5}{5}]_{0}^{3} = 2\pi(243 - \frac{243}{5})$$

$$= \frac{2\pi(1215 - 243)}{5} = \frac{1944\pi}{5}$$

(c)

$y = x^3$と $y = \sqrt{x}$の交点を求めると， $x^3 - \sqrt{x} = \sqrt{x}(x^{5/2} - 1) = 0$より，$(0,0)$と$(1,1)$となる． 回転軸に垂直な平面で切断すると，その断面はワッシャーになる． よって，$x$軸上の任意の点$x$における断面積$A$は

$$A = \pi((\sqrt{x})^{2} - (x^3)^2) = \pi (x - x^6).$$

したがって，これに少しの厚み$\Delta x$をつけると，その体積$\Delta V$は

$$\Delta V = A \Delta x = \pi (x - x^6) \Delta x$$

となるので，求める体積は

$$V = \pi \int_{0}^{1}(x - x^6)\; dx = \pi [\frac{x^2}{2} - \frac{x^7}{7}]_{0}^{1}$$

$$= \pi(\frac{1}{2} - \frac{1}{7}) = \frac{5\pi}{14}$$

(d)

$y = x^2$と$y = x+2$の交点を求めると， $x^2 - (x+2) = x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2) = 0$より，$(-1,1)$と$(2,4)$となる． 回転軸に垂直な平面で切断すると，その断面はワッシャーになる． よって，$x$軸上の任意の点$x$における断面積$A$は

$$A = \pi((x+2)^{2} - (x^2)^2) = \pi (x^2 + 4x + 4 - x^4).$$

したがって，これに少しの厚み$\Delta x$をつけると，その体積$\Delta V$は

$$\Delta V = A \Delta x = \pi (x^2 + 4x + 4 - x^4) \Delta x$$

となるので，求める体積は

$$V = \pi \int_{-1}^{2}(x^2 + 4x + 4 - x^4)\; dx = \pi [\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x - \frac{x^5}{5}]_{-1}^{2}$$

$$= \pi(\frac{8}{3} + 8 + 8 - \frac{32}{5} - (-\frac{1}{3} + 2 - 4 + \frac{1}{5}))$$

$$= \pi(\frac{40 - 96}{15} + 16 + 2 + \frac{2}{15}) = \pi(\frac{-54}{15} + 18)$$

$$= \pi(\frac{-54 + 270}{15}) = \frac{216 \pi}{15} = \frac{72\pi}{5}$$

3.

(a)

曲線の1部分$\Delta l$は

$$\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta x})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x$$

で与えられるので，求める曲線の長さは

$$l = 4\int_{0}^{2}\sqrt{(\frac{dx}{dx})^2 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$$

$$= \int_{0}^{2}\sqrt{1 + 2^2} dx = [\sqrt{5}x]_{0}^{2}$$

$$= 2\sqrt{5}$$

(b)

曲線の1部分$\Delta l$は

$$\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta x})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x$$

で与えられるので，求める曲線の長さは

$$l = 4\int_{0}^{44}\sqrt{(\frac{dx}{dx})^2 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$$

$$= \int_{0}^{44}\sqrt{1 + (\frac{3x^{1/2}}{2})^2}\; dx = \int_{0}^{44}\sqrt{1 + \frac{9x}{4}}\;dx$$

$$= \int_{1}^{100}\sqrt{t} \cdot \frac{4}{9}\; dt \left(\begin{... ... & 44\ \hline t & 1 & \to & 100 \end{array}\end{array} \right)$$

$$= \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3}[t^{3/2}]_{1}^{100} = \frac{8}{27}(1000 - 1)$$

$$= \frac{888}{3} = 296$$

(c)

曲線の1部分$\Delta l$は

$$\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^2} \Delta t$$

で与えられるので，求める曲線の長さは

$$l = \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$$

$$= \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{(2t)^2 + 2^2}\; dt = \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{4t^2 + 4}\;dt$$

$$= 2\int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{t^2 + 1}\; dt$$

$$= 2[t\sqrt{t^2 + 1} + \log\vert t + \sqrt{t^2 + 1}\vert]_{0}^{\sqrt{3}}$$

$$= 2(2\sqrt{3} + \log\vert\sqrt{3} + 2\vert ) = 4\sqrt{3} + 2\log\vert 2 + \sqrt{3}\vert$$

(d)

曲線の1部分$\Delta l$は

$$\Delta l = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta \theta})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta \theta})^2} \Delta \theta$$

で与えられるので，求める曲線の長さは， $x = r\cos{\theta} = e^{\theta}\cos{\theta}$, $y = r\sin{\theta} = e^{\theta}\sin{\theta}$より

$$l = \int_{0}^{4\pi}\sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta \theta})^2 + (\frac{\Delta y}{\Delta \theta})^2} \Delta \theta$$

$$= \int_{0}^{4\pi}\sqrt{(e^{\theta}\cos{\theta} - e^{\theta}\sin{\theta})^2 + (e^{\theta}\sin{\theta} + e^{\theta}\cos{\theta})^2}\; d\theta$$

$$= \int_{0}^{4\pi}\sqrt{e^{2\theta} \cos^{2}{\theta} - 2e^{2\theta}\... ... 2e^{2\theta}\sin{\theta}\cos{\theta} + 2e^{2\theta}\sin^{2}{\theta}}\; d\theta$$

$$= \int_{0}^{4\pi}\sqrt{2e^{2\theta}}\; d\theta$$

$$= \sqrt{2}\int_{0}^{4\pi}\sqrt{e^{2\theta}}\; d\theta = 2\int_{0}^{4\pi}e^{\theta}\; d\theta$$

$$= \sqrt{2}[e^{\theta}]_{0}^{4\pi} = \sqrt{2}(e^{4\pi} - 1)$$