3.9 定積分の定義の拡張

1.

(a)

積分範囲が有限でないので，まず，積分範囲を1から$b$までとし，積分を行ったあと$b$を無限大に持って行く．

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x}\; dx = \lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b}e^{-x}\;dx$$

$$= \lim_{b \to \infty}\left[-e^{-x}\right]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty}(-e^{-b} + 1)$$

$$= 1$$

(b)

積分範囲が有限でないので，まず，積分範囲を1から$b$までとし，積分を行ったあと$b$を無限大に持って行く．

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\; dx = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}\;dx$$

$$= \lim_{b \to \infty}\left[\log{x}\right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty}\log{b}$$

$$= \infty$$

(c)

積分範囲が有限でないので，まず，積分範囲を1から$b$までとし，積分を行ったあと$b$を無限大に持って行く．

$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}\; dx = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^2}\;dx$$

$$= \lim_{b \to \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty}(-\frac{1}{b} + 1)$$

$$= 1$$

(d)

$$\int_{1}^{\infty}\cos{\pi x}\; dx = \lim_{b \to \infty}[\frac{1}{\pi}\sin{\pi x}]_{1}^{b}$$

$$=$$ 存在しない

(e)

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$は$x = 0$で分母が0になる．したがって，$x = 0$で連続ではない．そのため，$x = 0$の直後 $0 + \varepsilon$から積分し，その後 $\varepsilon$を0に近づける．

$$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\; dx = \lim_{\varepsilon \to 0+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-\frac{1}{2}}\;dx$$

$$= \lim_{\varepsilon \to 0+}\left[2x^{\frac{1}{2}}\right]_{\varepsilon}^{1} = \lim_{\varepsilon \to 0+}(2-2\varepsilon^{\frac{1}{2}})$$

$$= 2$$

(f)

$f(x) = \frac{1}{x^2}$は$x = 0$で分母が0になる．したがって，$x = 0$で連続ではない．そのため，$x = 0$の直後 $0 + \varepsilon$から積分し，その後 $\varepsilon$を0に近づける．

$$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2} = \lim_{\varepsilon \to 0+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-2}\;dx$$

$$= \lim_{\varepsilon \to 0+}\left[-\frac{1}{x}\right]_{\varepsilon}^{1} = -\lim_{\varepsilon \to 0+}(1 - \frac{1}{\varepsilon})$$

$$= \infty$$