定積分の定義の拡張(extension of definite integrals)

確認問題

1.: 次の広義積分を求めよう．
(a) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x} dx}$ (b) $\displaystyle{\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x}}$ (c) $\displaystyle{\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}}}$ (d) $\displaystyle{\int_{1}^{\infty}\cos{\pi x} dx}$ (e) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}}$ (f) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2}}}$

演習問題

1.: 次の広義積分を求めよう．
(a) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}$ (b) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{x}}$ (c) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\log{x}dx}$
2.: 次の無限積分を求めよう．
(a) $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}xe^{-x}dx}$ (b) $\displaystyle{\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\log{x})^{\alpha}}dx}$ (c) $\displaystyle{\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha} \log{x}} dx}$
3.: 次の積分の収束，発散について調べよう．
(a) $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\cos{x}}}}$ (b) $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\log{x}}{\sqrt{x}}}$