定積分の計算(calculation of integrals)

確認問題

1.

次の定積分の値を求めよう．

(a) $${\int_{-2}^{2}\sin{x} dx}$$ (b) $${\int_{-1}^{1} \sin^{3}{x} dx}$$ (c) $${\int_{0}^{\pi}\sin^3{x}dx}$$ (d) $${\int_{0}^{\pi}\cos{2x} dx}$$

(e) $${\int_{-1}^{1}\sqrt{x+1}dx}$$

演習問題

1.

次の定積分の値を求めよう．

(a) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}{x}\sin{x}dx}$$ (b) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\sqrt{1+\cos{x}}} dx}$$ (c) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{4}{x}dx}$$

(d) $${\int_{-1}^{1}x^2 \cos{x} dx}$$ (e) $${\int_{0}^{\pi}\cos{nx}dx}$$ (n 整数) (f) $${\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{\sqrt{4-x^{2}}}\;dx}$$

(g) $${\int_{0}^{1}xe^{x} dx}$$

2.

$${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}{x}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}{x}dx}$$ を示そう．

3.

関数 $${F(x) = \int_{-x}^{x}f(t)dt}$$について以下のことについて答えよう．ただし，$f(x)$は区間 $(-\infty,\infty)$で微分可能な関数とする．

(a) $F(x)$は奇関数であることを示そう．

(b) $f(x)$が偶関数ならば$f'(x)$は奇関数であることを示そう．

(c) $f(x) = \int_{-x}^{x}f(t)dt$ならば$f(x) = 0$となることを示そう．

(d) $f(x)$は偶関数と奇関数の和で表せることを示そう．

4.

次の定積分の値を求めよう．

(a) $${\int_{0}^{1}\frac{\log(x+1)}{x^2 + 1}\;dx}$$