定積分(definite integral)

確認問題

1.

区分求積法を用いて， $${\int_{0}^{1}x^{2}dx}$$を求めよう．

2.

次の定積分を計算しよう．

(a) $${\int_{0}^{1}(x^{2} + 3) dx}$$ (b) $${\int_{1}^{2}\frac{x^{2} - 1}{x} dx}$$ (c) $${\int_{0}^{1}\sqrt{x^{3}} dx}$$ (d) $${\int_{0}^{\pi}\cos{x} dx}$$ (e) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} dx}$$

3.

$${\int_{0}^{1}f(x)dx = 6}$$, $${\int_{0}^{2}f(x)dx = 4}$$, $${\int_{2}^{5}f(x)dx = 1}$$のとき，次の問いに答えよう．

(a) $${\int_{0}^{5}f(x) dx}$$ (b) $${\int_{1}^{2}f(x) dx}$$ (c) $${\int_{1}^{5}f(x) dx}$$ (d) $${\int_{0}^{0}f(x) dx}$$

(e) $${\int_{2}^{0}f(x) dx}$$

4.

関数 $f(t)$ が連続であるとき， $g(x)$ を求めよう．

(a) $${g(x) = \frac{d}{dx}\int_{1}^{x}\sin{t}dt}$$ (b) $${g(x) = \frac{d}{dx}\int_{x}^{1}\cos{t}dt}$$ (c) $${g(x) = \frac{d}{dx}\int_{0}^{2x}\sqrt{\sin{t}}dt}$$

5.

次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \cdots + \frac{n}{n} \right)}$$ (b) $${\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{2 + \frac{2}{n}} + \cdots + \frac{1}{3} \right)}$$

(c) $${\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{i}{n}}}$$

演習問題

1.

関数 $f(t)$ が連続であるとき， $g(x)$ を求めよう．

(a) $${g(x) = \frac{d}{dx}\int_{x}^{b}f(t)dt}$$ (b) $${g(x) = \frac{d}{dx}\int_{x}^{x+1}f(t)dt}$$

(c) $${g(x) = \frac{d}{dx}\int_{0}^{2x}x^{2}f(t)dt}$$

2.

次の定積分を計算しよう．

(a) $${\int_{1}^{5}2\sqrt{x-1}dx}$$ (b) $${\int_{1}^{2}\frac{2-t}{t^{3}}dt}$$ (c) $${\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}dx}$$ (d) $${\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}dx}$$

(e) $${\int_{0}^{\log{2}} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}dx}$$

3.

(2) $\int_{a}^{b}cf(x)dx = c\int_{a}^{b}f(x)dx$ ($c$ : 定数)を証明しよう．

(3) $\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$を証明しよう．

(4) $\int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx$を証明しよう．

(5) $[a,b]$で $f(x) \geq g(x)$ならば， $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq \int_{a}^{b}g(x)dx$を証明しよう．

4.

次の不等式を証明しよう．

(a) $${\frac{\pi}{4} < \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x^n}dx < 1 (n > 2)}$$ (b) $${\frac{1}{2n+2} \leq \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1 + x}dx \leq \frac{1}{n} (n \geq 1)}$$

5.

次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)}$$ (b) $${\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{1}{n^2 + i^2}}}$$

(c) $${\lim_{x \rightarrow 0} \int_{0}^{x} \tan{(t^2)}dt}$$