高次導関数(higher-order derivatives)

確認問題

1.

物体の運動が次の式で表されるとき，初期値$t_{0} = 0$での位置，速度，加速度と速さを求めよう．

(a) $${y(t) = 4 + 3t - t^{2}}$$ (b) $${y(t) = t^{3} - 6t}$$ (c) $${y(t) = \frac{18}{t+2}}$$

2.

次の関数の第2次導関数を求めよう．

(a) $${f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}}$$ (b) $${f(x) = x\log{x}}$$ (c) $${f(x) = e^{x} \sin{x}}$$

演習問題

1.

次の公式が成り立つことを示そう．

(a) $${(\sin{x})^{(n)} = \sin{(x + \frac{n \pi}{2})}}$$ (b) $${(\cos{x})^{(n)} = \cos{(x + \frac{n \pi}{2})}}$$

(c) $${\left[(1 + x)^{\alpha}\right]^{(n)} = \alpha(\alpha -1)\cdots(\alpha - n + 1)(1+x)^{\alpha - n}}$$

2.

次の関数の第$n$次導関数を求めよう．

(a) $${f(x) = \frac{x^{3}}{1 - x}}$$ (b) $${f(x) = x^{2} \sin{x}}$$ (c) $${f(x) = e^{x} \sin{x}}$$