3.4 解答

3.4

1.

(a)

$${\frac{7}{(x-2)(x+5)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解すると, $(x-2)(x-5)$の因数$x-2$と$x+5$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{7}{(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$$

ここで分母を払い整理すると

$$7 = A(x+5) + B(x-2) = (A+B)x + 5A - 2B$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B = 0\\ 5A- 2B = 7 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{ll} 0 & 1\\ 7 & -2 \end{ar... ...begin{array}{ll} 1 & 1\\ 5 & -2 \end{array}\right\vert} = \frac{-7}{-7} = 1$$

これをもとの式に代入すると$B = -1$となるので

$$\frac{7}{(x-2)(x+5)} = \frac{1}{x-2} + \frac{-1}{x+5}$$

これより $${\int \frac{7}{(x-2)(x+5)}dx = \int (\frac{1}{x-2} + \frac{-1}{x+5}) dx = \log{\vert x-2\vert} - \log{\vert x+5\vert} + c}$$

(b) $${\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解すると， $x(x-1)(x+1)$の因数 $x, x-1, x+1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{x^2 + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x + 1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$x^2 + 1 = A(x^2 -1) + B(x^2 + x) + C(x^2 - x)= (A+B+C)x^2 + (B-C)x - A$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B+C = 1\\ B-C = 0\\ A = -1 \end{array}\right.$$

$A = -1$より次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} B+C = 2\\ B-C = 0\\ \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$B = \frac{\left\vert \begin{array}{ll} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{a... ...egin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right\vert} = \frac{-2}{-2} = 1$$

これを上の式に代入すると$C = 1$となるので

$$\frac{x^2 + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x + 1}$$

これより

$$\int{\frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)} dx} = \int(\frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x + 1}) dx$$

$$= -\log{\vert x\vert} + \log\vert x-1\vert + \log\vert x+1\vert + c = -\log{\vert x\vert} + \log\vert x^2 -1\vert + c$$

(c) $${\frac{x^2 + 3}{x^2 -3x + 2}}$$は有理関数で，分子の次数が分母の次数以上なので，まず分子を分母で割ると

$$\frac{x^2 + 3}{x^2 -3x + 2} = 1 + \frac{3x + 1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{3x+1}{(x-2)(x-1)}$$

となる．次に $\frac{x^2 + 3}{(x-2)(x-1)}$を部分分数分解すると， $(x-2)(x-1)$の因数$x-2$と$x-1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{3x+1}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$3x+ 1 = A(x-1) + B(x-2) = (A+B)x - (A +2B)$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+B = 3\\ A+2B = -1 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{ll} 3 & 1\\ -1 & 2 \end{a... ... \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right\vert} = \frac{7}{1} = 7$$

これをもとの式に代入すると$B = -4$となるので

$$\frac{3x + 1}{x^2 -3x + 2} = \frac{7}{x-2} + \frac{-4}{x-1}$$

これより

$$\int{\frac{x^2 + 3}{x^2 -3x + 2} dx} = \int(1 + \frac{7}{x-2} + \frac{-4}{x-1}) dx$$

$$= x + 7\log{\vert x-2\vert} -4 \log\vert x-1\vert + c$$

(d) $${\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解すると， $(x-1)^2 (x+1)$の因数 $x-1, (x-1)^2, x+1$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^{2}} + \frac{C}{x+1}$$

ここで分母を払い整理すると

$$x^2 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^{2}= (A + C)x^2 + (B-2C)x + (-A + B + C)$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A+C = 1\\ B-2C = 0\\ -A + B + C = 0 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{lll} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2... ... 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 & -2\\ -1 & 1 & 1 \end{array}\right\vert} = \frac{3}{4}$$

これを$A + C = 0$代入すると $C = \frac{1}{4}$．さらに， $A = \frac{3}{4}, C = \frac{1}{4}$より $B = \frac{1}{2}$を得る．よって

$$\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{3}{4(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)^{2}} + \frac{1}{4(x+1)}$$

これより

$$\int{\frac{x^2}{(x - 1)^2(x + 1)} dx} = \int(\frac{3}{4(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)^{2}} + \frac{1}{4(x+1)}) dx$$

$$= \frac{3}{4}\log\vert x-1\vert - \frac{1}{2}(x-1)^{-1} + \frac{1}{4}\log\vert x+1\vert + c$$

(e) $${\frac{1}{(x^2 + 16)^2}}$$は有理関数で分子の次数$<$分母の次数なので，部分分数分解をして解く問題と思えるが，分子が定数ということは，これ以上の部分分数分解ができない．実際

$$\frac{dx}{(x^2 + 16)^2} = \frac{Ax + B}{x^{2} + 16} + \frac{Cx +D}{(x^2 + 16)^{2}}$$

ここで分母を払い整理すると

$$1 = (Ax + B)(x^2 + 16) + (Cx+D)= Ax^3 + Bx^2 + (16A + C)x + 16B+D$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{l} A = 0\\ B = 0\\ 16A + C = 0\\ 16B + D = 1 \end{array}\right.$$

これより， $A = B= C =0, D = 1$となり，もとに戻ってしまう．

そこで $${I_{n} = \int{\frac{dx}{(x^2 + 16)^n}}}$$とおき，部分積分を行なう．

$$\begin{array}{ll} u = \frac{1}{(x^2 + 16)}, & dv = dx\\ du = -\frac{2x}{(x^2 + 16)^2}dx, & v = x \end{array}$$

より

$$I_{1} = \int{\frac{dx}{(x^2 + 16)}} = \frac{x}{(x^2 + 16)} + 2\int{\frac{x^2}{(x^2 + 16)^2}}dx$$

$$= \frac{x}{(x^2 + 16)} + 2\int{\frac{x^2+16 -16}{(x^2 + 16)^2}}dx$$

$$= \frac{x}{(x^2 + 16)} + 2\int{\frac{1}{(x^2 + 16)^2}}dx -32 \int{\frac{1}{(x^2 + 16)^2}}dx$$

$$= \frac{x}{(x^2 + 16)} + 2I_{1} - 32I_{2}$$

これより，

$$I_{2} = \frac{1}{32}[\frac{x}{(x^2 + 16)} + I_{1}] = \frac{1}{128}[\frac{4x}{(x^2 + 16)} + \tan^{-1}(\frac{x}{4})] + c$$

別解 (三角関数の積分) この問題は分母が2乗の和で与えられていることに注意すると， $x = 4\tan{\theta}$の置換により

$$\left\{\begin{array}{ll} x &= 4\tan{\theta}\\ dx &= 4\sec^{2}{\theta}d\theta\\ \sqrt{x^2 + 16} &= 4\sec{\theta} \end{array}\right.$$

で与えられる．これより元の積分は

$$\int{\frac{dx}{(x^2 + 16)^2}} = \int \frac{4\sec^{2}{\theta}}{(4sec{\theta})^4}d\theta$$

$$= \int \frac{d\theta}{4^3 \sec^{2}{\theta}} = \frac{1}{64} \int \cos^{2}{\theta}d\theta$$

$$= \frac{1}{128}\int (1 + \cos{2\theta})d\theta = \frac{1}{128}(\theta + \frac{\sin{2\theta}}{2}) = \frac{1}{128}(\theta + \sin{\theta}\cos{\theta})$$

$$= \frac{1}{128}(\tan^{-1}(\frac{x}{4}) + \frac{4x}{x^2 + 16}) + c$$

(f) $${\frac{x^5}{(x - 2)^2}}$$は有理関数で分子の次数$geq$分母の次数なので，まず，分子を分母で割ると，

$$\frac{x^5}{x^2 - 4x + 4} = x^3 + 4x^2 + 12x + 32 + \frac{80x - 128}{(x-2)^2}$$

$${\frac{80x - 128}{(x-2)^2}}$$を部分分数分解すると，$(x-2)^2$の因数$x-2$と$(x-2)^2$を分母に持つ分数の和で表せる．

$$\frac{80x-128}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x-21} + \frac{B}{(x-2)^{2}}$$

ここで分母を払い整理すると

$$80x-128 = A(x-2) + B$$

ここで左辺と右辺が恒等的に等しいことに注意すると，$A = 80$を得る．これを上の式に代入すると， $B = 2A - 128 = 160 - 128 = 32$を得る．よって

$$\frac{x^5}{x^2 - 4x + 4} = x^3 + 4x^2 + 12x + 32 + \frac{80}{x-2} + \frac{32}{(x-2)^2}$$

これより

$$\int{\frac{x^5}{x^2 - 4x + 4}\;dx} = \frac{x^4}{4} + \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 32x$$

$$+ 80\log\vert x-2\vert - 32(x-2)^{-1} + c$$

(g) $x^3 = t$とおくと $3x^2dx = dt$となる．よって求める積分は

$$\int{\frac{x^5}{x^9 - 1}} dx = \int{\frac{x^3 x^2dx}{(x^3)^3 - 1}}$$

$$= \frac{1}{3}\int\frac{t dt}{t^3 - 1}$$

ここで

$$\frac{t}{t^3 -1} = \frac{t}{(t-1)(t^2 + t+ 1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{Bt + C}{t^2 + t + 1}$$

両辺の分母を払い整理すると

$$t = A(t^2 + t+1) + (Bt+C)(t-1) = (A+B)t^2 +(A-B+C)t + (A -C)$$

これより次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{ll} A+B &= 0\\ A-B+C &= 1\\ A-C &=0 \end{array}\right.$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$A = \frac{\left\vert \begin{array}{lll} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1... ...1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right\vert} = \frac{1}{3}$$

これより $B = -\frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}$となるので，

$$\int{\frac{x^5}{x^9 - 1}} dx = \frac{1}{3}\int\frac{t dt}{t^3 - 1}$$

$$= \frac{1}{9}\int{(\frac{1}{t-1} + \frac{-t + 1}{t^2 + t + 1})}dt$$

$$= \frac{1}{9}\log\vert t-1\vert + \frac{1}{9}\int{\frac{-t + 1}{t^2 + t + 1}}dt$$

ここで $${\frac{-t + 1}{t^2 + t + 1}}$$を次のように分解し積分する．

$$\int{\frac{-t + 1}{t^2 + t + 1}}dt = \int -\frac{1}{2}\int{\frac{2t - 2}{t^2 + t+1}}dt$$

$$= -\frac{1}{2}\int{\frac{2t + 1 -3 }{t^2 + t+1}}dt = -\frac{1}{2}[\... ...ac{2t + 1}{t^2 + t+1}}dt + \int\frac{-3 }{(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dt]$$

$$= -\frac{1}{2}[\log\vert t^2 + t+1\vert -3 \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{(\frac{2(t+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})}]$$

よって

$$\int{\frac{x^5}{x^9 - 1}} dx = \frac{1}{3}\frac{\int{tdt}}{t^3 - 1}$$

$$= \frac{1}{9}\log\vert t-1\vert + \frac{1}{9}(-\frac{1}{2})[\log\ve... ...t+1\vert -3 \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}{(\frac{2(t+\frac{1}{2})}{\sqrt{3}})}]+c$$

$$\frac{1}{9}\log\vert x^3 -1\vert - \frac{1}{18}[\log\vert x^6 + x^3 + 1\vert + 2\sqrt{3} \tan^{-1}{(\frac{2x^3+1}{\sqrt{3}})}]+c$$

(h) $x^4 = t$とおくと $4x^3dx = dt$となる．よって求める積分は

$$\int{\frac{1}{x(x^4 + 1)}} dx = \frac{1}{4}\int{\frac{4x^3 dx}{x^4(x^4 + 1)}}$$

$$= \frac{1}{4}\int\frac{dt}{t(t+1)}$$

ここで

$$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1}$$

両辺の分母を払い整理すると

$$1 = A(t+1) + Bt = (A+B)t + A$$

これより次の連立方程式を得る．

$$\left\{\begin{array}{ll} A+B &= 0\\ A &= 1 \end{array}\right.$$

この連立方程式を解くと $A = 1, B= -1$となるので，

$$\int{\frac{1}{x(x^4 + 1)}} dx = \frac{1}{4}\int\frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{4}\int (\frac{1}{t} + \frac{-1}{t + 1})dt$$

$$= \frac{1}{4}[\log\vert t\vert - \log\vert t+1\vert] + c$$

$$= \frac{1}{4}[\log\vert x^4\vert - \log\vert x^4+1\vert] + c = \frac{1}{4}\log{\vert\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\vert} + c$$