オイラー e(Euler e)と超越関数

確認問題

1.

次の漸化式で定義される数列 $\{a_{n}\}$ は収束するか判定しよう．また，収束する場合は，極限値を求めよう．

(a) $${a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{1}{e}a_{n}, n \geq 1}$$ (b) $${a_{1} = 1, a_{n+1} = 2^{n+1}a_{n}}$$

(c) $${a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{n}{n+1}a_{n}}$$

2.

表より，次の値を求めよう．

(a) $${\log{20}}$$ (b) $${\log{16}}$$ (c) $${\log{3^{4}}}$$ (d) $${\log{0.1}}$$ (e) $${\log{\sqrt{630}}}$$ (f) $${\log{0.4}}$$

$$\begin{array}{ll\vert ll} n & \log{n} & n & \log{n} \ \hline... ... & 1.39 & 9 & 2.20\\ 5 & 1.61 & 10 & 2.30\ \hline \end{array}$$

3.

次の方程式の解を求めよう．

(a) $${\log{x} = 2}$$ (b) $${\log{x} = -1}$$ (c) $${(2-\log{x})\log{x} = 0}$$

(d) $${\log{(2x+1)(x+2)} = 2\log(x+2)}$$

演習問題

1.

次の数列は有界か調べよう．

(a) $${2,2^{2},2^{3},\cdots,2^{n},\cdots}$$(b) $a_{n}$ は $\sqrt{2}$ の小数第$n$位までとった近似値．

2.

次の漸化式で定義される数列 $\{a_{n}\}$ の極限値を求めよう．

(a) $${a_{1} = 1, a_{n+1} = \sqrt{3a_{n} + 4}}$$ (b) $${a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}a_{n}}}$$

3.

次の数列の極限値を求めよう．

(a) $${a_{n} = (1 - \frac{1}{n^2})^n}$$ (b) $${a_n = (1 + \frac{2}{n})^n}$$ (c) $${a_n = \frac{2^n}{n!}}$$

(d) $${a_n = \frac{n!}{n^n}}$$

4.

次の極限値を求めよう．

(a) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log{(1+x)}}{x}}$$ (b) $${\lim_{h \rightarrow 0}\frac{e^{h} - 1}{h}}$$ (c) $${\lim_{x \rightarrow a}\frac{\log{x} - \log{a}}{x - a}}$$

(d) $${\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x}}$$ (e) $${\lim_{x \rightarrow 0+}x^x}$$

5.

算術平均 $a_{n+1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}$と幾何平均 $b_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n}}$で定義された数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$について以下の問に答えよう．

(a) $\{a_{n}\}$と$\{b_{n}\}$は収束することを示そう．

(b) $\lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty}b_{n}$を示そう．