不等式

微積分では不等式を解くことが要求されます．そこで，ここでは，不等式の解き方について学びます．不等式を解く方法は，方程式を解く方法とよく似ています．不等号の向きは，両辺に同じものを加えたり，両辺から同じものを引いたり，両辺に同じ正の数をかけたりしても変わりません．しかし，両辺に負の数をかけると不等号の向きは反転します．つまり， $x - 2 < 5$の両辺に2を加えると， $x - 2 + 2 < 5 + 2$となり，これより$x < 7$となります．また，$2x < 10$の両辺に $\frac{1}{2}$をかけると $\frac{1}{2}(2x) < \frac{1}{2}(10)$となり，これより$x < 5$となります．しかし，$-2x < 10$の両辺に $-\frac{1}{2}$をかけると不等号の向きが逆になり， $-\frac{1}{2}(-2x) > -\frac{1}{2}(10)$となります．これを整理すると，$x > -5$を得ます．ここで，求めた不等式を数直線上に記してみましょう．例えば，$x > -5$は$-5$より大きな全ての実数を表しています．そこで，$x > -5$と書く代わりに，区間を用いて $(-5, \infty)$と書くことができます．

区間$[a,b]$を集合を用いて表すと

$$[a,b] = \{x \in {\mathcal R} : a \leq x \leq b\}$$

区間$(a,b)$を集合を用いて表すと

$$(a,b) = \{x \in {\mathcal R} : a < x < b\}$$

区間 $(-\infty,b]$を集合を用いて表すと

$$(-\infty,b] = \{x \in {\mathcal R} : -\infty < x \leq b\}$$

区間 $(a,\infty)$を集合を用いて表すと

$$(a,\infty) = \{x \in {\mathcal R} : a < x < \infty\}$$

となります．

例題 0..6  

次の不等式を解いてみましょう．

$$\frac{1}{2}(1 + x) \leq 6$$

解 この不等式を解くには，$x$の周りにあるものを除いてやればよいでしょう．まず，両辺を2倍することにより $\frac{1}{2}$を除きます．

$$1 + x \leq 12$$

次に，1を両辺から引くと，

$$x \leq 11$$

したがって，不等式の解は $(-\infty, 11]$となります． $\blacksquare$

例題 0..7  

次の不等式を解いてみましょう．

$$\frac{1}{5}(x^{2} - 4x + 3) < 0$$

解 まず，両辺を5倍することにより $\frac{1}{5}$を除きます．

$$x^{2} - 4x + 3 < 0$$

この2次式を因数分解すると，

$$(x-1)(x-3) < 0$$

積 $(x-1)(x-3)$が0になるのは，1と3です．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付けておきます． これにより，数直線は次の3つの区間に分割されます．

$$(-\infty, 1), (1,3), (3, \infty)$$

これらの区間内では，積 $(x-1)(x-3)$の符号(sgn)は変わりません．

$(-\infty, 1)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-3)] = (-)(-) = +$
$(1,3)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-3)] = (+)(-) = -$
$(3, \infty)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-3)] = (+)(+) = +$

これより，不等式の解は$(1,3)$となります． $\blacksquare$

例題 0..8  

次の不等式を解いてみましょう．

$$\frac{x+2}{1 - x} \geq 1$$

解 まず，両辺に-1を加えて右辺の１を削除します．

$$\frac{x+2}{1 - x} - 1 \geq 0$$

整理すると

$$\frac{x+2 - (1 - x)}{1 - x} \geq$$ 0

$$\frac{2x + 1}{1-x} \geq 0$$

ここで，分母を払うのですが$1-x$をかけて払うと，$1-x$の符号を気にする必要があります．そこで，$(1-x)^{2}$を両辺にかけて分母を払うと

$$(2x+1)(1-x) \geq 0$$

となります． 積 $(2x+1)(1-x)$が0になるのは， $-\frac{1}{2}$と1です．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付けておきます． 次に，等号は分子が0のときだけ満たされるので， $-\frac{1}{2}$の点を黒く塗ります．これにより，数直線は次の3つの区間に分割されます．

$$(-\infty, -\frac{1}{2}], [-\frac{1}{2},1), (1, \infty)$$

$(-\infty, -\frac{1}{2}]$	${\rm sgn}[(2x+1)(1-x)] = (-)(+) = -$
$[-\frac{1}{2},1)$	${\rm sgn}[(2x+1)(1-x)] = (+)(+) = +$
$(1, \infty)$	${\rm sgn}[(2x+1)(1-x)] = (+)(-) = -$

これより，不等式の解は $[-\frac{1}{2},1)$となります． $\blacksquare$