絶対値の不等式

実数$a$の絶対値は

$$\vert a\vert = \left\{\begin{array}{ll} a & (a \geq 0)\\ -a & (a... ...end{array}\right. \vert a\vert = \max\{a, -a\}, \vert a\vert = \sqrt{a^{2}}$$

で与えられます．ここで，2つのギリシャ文字$\delta$(デルタ)と $\varepsilon$(イプシロン)を用います．

まず，不等式

$$\vert x\vert < \delta$$

を考えます．ただし，$\delta$は正の数． $\vert x\vert < \delta$とは，$x$が原点から$\delta$の範囲内にあるということです．つまり，$x$は$-\delta$から$\delta$の間にあるということです．したがって，

$$\vert x\vert < \delta \Leftrightarrow -\delta < x < \delta$$ (0.2)

次に， $\vert x - c\vert < \delta$とは，$x$が点$c$から$\delta$の範囲にあるということです．したがって，

$$\vert x - c\vert < \delta \Leftrightarrow -\delta < x-c < \delta \Leftrightarrow c -\delta < x < c + \delta$$ (0.3)

最後に， $0 < \vert x - c\vert < \delta$とは， $0 < \vert x - c\vert$でかつ $\vert x - c\vert < \delta$であるということです．最初の不等号は$x \neq c$であるといっています．したがって，

$$0 < \vert x-c\vert < \delta \Leftrightarrow c-\delta < x < c {\rm or} c < x < c + \delta$$ (0.4)

となります．

例題 0..9  

次の不等式を解いてみましょう．

$$\vert x + 2\vert < 3$$

解 式(3)より，

$$\vert x+2\vert < 3 \Leftrightarrow -3 < x+2 < 3 \Leftrightarrow -5 < x < 1$$

したがって，不等式の解は$(-5, 1)$ $\blacksquare$

$\varepsilon > 0$のとき， $\vert a\vert > \varepsilon$とは，原点から$a$までの距離が $\varepsilon$より大きいことを表している．したがって，

$$\vert a\vert > \varepsilon \Leftrightarrow a > \varepsilon {\rm or} a < -\varepsilon$$ (0.5)

例題 0..10  

次の不等式を解いてみましょう．

$$\vert 2x + 3\vert > 5$$

解 式(5)より，

$$\vert 2x+3\vert > 5 \Leftrightarrow 2x+3 > 5 {\rm or} 2x+3 < -5$$

最初の不等式から$2x > 2$よって$x > 1$. また，2つ目の不等式から$2x < -8$よって$x < -4$．したがって，不等式の解は $(-\infty,-4)\cup(1, \infty)$ $\blacksquare$

微分積分学の基本的な不等式の中に，三角不等式(triangle inequality)とよばれるものがあります．

定理 0..1  

全ての実数$a,b$に対して

$$\vert a+b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$$

が成り立つ．

証明 $\vert x\vert$を $\sqrt{x^{2}}$とおくと証明は簡単です．まず，

$$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \leq \vert a\vert^{2} + 2\vert a\vert\vert b\vert + \vert b\vert^{2} = (\vert a\vert + \vert b\vert)^{2}.$$

両辺の平方根をとると，

$$\sqrt{(a+b)^{2}} \leq \vert a\vert + \vert b\vert$$

ここで，

$$\sqrt{(a+b)^{2}} = \vert a+b\vert$$

であることに注意すると，不等式が得られる． $\blacksquare$

微分積分学で用いられる不等式には，次のものもあります．

$$\vert\vert a\vert - \vert b\vert\vert \leq \vert a - b\vert$$

確認問題

1.

次の不等式を解こう．

(a) $${2+3x \leq 5}$$ (b) $${\frac{1}{2}(1+x) < \frac{1}{3}(1 - x)}$$ (c) $${4(x^{2} - 3x + 2) > 0}$$

(d) $${\frac{1}{x} < x}$$ (e) $${\frac{x^{2} - 9}{x+1} > 0}$$ (f) $${\frac{1}{x-1} + \frac{4}{x-6} > 0}$$

2.

どちらが大きいか比較しよう．

$$\sqrt{\frac{x}{x+1}}, \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}$$

3.

次の不等式を解こう．

(a) $${\vert x\vert < 2}$$ (b) $${\vert x + 2\vert < \frac{1}{4}}$$ (c) $${0 < \vert x-3\vert < 8}$$ (d) $${\vert 2x + 5\vert > 3}$$

4.

全ての実数$a,b$に対して，

$$\vert a - b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$$

が成り立つことを示そう．