累乗

同じ数を2回以上かけあわせたものを，その数の累乗(power)またはべきといいます．例えば，$a$を3回かけあわせたとすると，「$a$の3乗」といい，$a^{3}$と表します．このとき，$a$を底(base)テイといい，かけた回数を添え字として右肩に小さく書き指数(exponent)といいます．

例題 0..4  

次の値を求めてみましょう．

(1) $2^{2},\hskip 0.5cm (2) 2^{3},\hskip0.5cm (3) (-2)^{2},\hskip 0.5cm (4) (-2)^{3}$

解

$2^{2} = 2 \cdot 2 = 4, 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8, (-2)^{2} = (-2)(-2) = 4, (-2)^{3} = (-2)(-2)(-2) = -8$ $\blacksquare$

累乗どうしの掛け算はそれほど難しくはありません．例えば，$a^{3}$と$a^{4}$をかけると，$a$を3回と4回の合計7回かけることになるので，

$$a^{3} \cdot a^{4} = a^{3+4} = a^{7}$$

一般に，$a > 0$で$m,n$が整数のとき，

$$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$

が成り立ちます． さて，累乗どうしの割り算はどうでしょうか．例えば，$a^{5}$を$a^{2}$で割ってみましょう．

$$\frac{a^{5}}{a^{2}} = \frac{aaaaa}{aa} = aaa = a^{3} = a^{5-2}$$

となります．次に，$a^{2}$を$a^{5}$で割ってみましょう．

$$\frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{aa}{aaaaa} = \frac{1}{aaa} = \frac{1}{a^{3}}$$

となります．ちょっと不便ですね．そこで，

$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$

と定め，これを負の指数(negative exponent)といいます．これを用いれば，

$$\frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{aa}{aaaaa} = \frac{1}{aaa} = \frac{1}{a^{3}} = a^{-3}$$

と表せます．一般に，$m,n$が整数のとき，

$$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$$

が成り立ちます．

例題 0..5  

次の値を求めてみましょう．

(1) $${a^{3} \times a^{4}}$$ (2) $${a^{3} \div a^{4}}$$ (3) $${(a^{3})^{4}}$$ (4) $${\left(\frac{a}{b}\right)^{3}}$$

解
(1) $a^{3} \times a^{4} = a^{3+4} = a^{7}$ (2) $a^{3} \div a^{4} = a^{3-4} = a^{-1}$ (3) $(a^{3})^{4} = a^{3 \times 4} = a^{12}$
(4) $\left(\frac{a}{b}\right)^{3} = \frac{a^{3}}{b^{3}}$ $\blacksquare$

$x^{n} = a$を満たす$x$を$a$の$n$乗根ということを以前説明しました．これを記号で表そうとすると，$n$が偶数か奇数かと$a$が正，零，負によって異なるので，簡単ではありません．そこで，一般に， $a^{\frac{n}{m}}$と表すときには，$a > 0$であるという条件をつけます．さて， $a^{\frac{n}{m}}$とはなんでしょうか． $a^{\frac{1}{m}}$は $\sqrt[m]{a}$のことです．したがって，

$$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}} = (\sqrt[m]{a})^{n}$$

となります．このようにして，指数を整数から有理数へと拡張することができます．これより，$a, b > 0$, $r_{1}, r_{2} \in {\mathcal Q}$のとき，次の指数公式が成り立ちます．

1. $a^{r_{1}} \times a^{r_{2}} = a^{r_{1} + r_{2}}$
2. $a^{r_{1}} \div a^{r_{2}} = a^{r_{1} - r_{2}}$
3. $(a^{r_{1}})^{r_{2}} = a^{r_{1}r_{2}}$
4. $(ab)^{r_{1}} = a^{r_{1}}b^{r_{1}}$
5. $\left(\frac{a}{b}\right)^{r_{1}} = \frac{a^{r_{1}}}{b^{r_{1}}}$

これをさらに有理数から実数へと拡張しようとするためには，極限値の話が必要となります．

確認問題

1.

次の数は有理数か無理数か答えよう．

(a) $${\frac{4}{7}}$$ (b) $${\frac{\pi}{4}}$$

2.

次の数の絶対値を求めよう．

(a) $${-3.0}$$ (b) $${\pi}$$

3.

$a = 2$, $b= -3$, $c = -5$のとき，次の値を求めよう．

(a) $${\vert a + b + c\vert}$$ (b) $${\vert a - b + c\vert}$$

4.

次の値を求めよう．

(a) $${9^{\frac{3}{2}}}$$ (b) $${27^{-\frac{1}{3}}}$$

5.

$a > 0$, $n$を整数とするとき，次の式を簡単にしよう．

(a) $${\sqrt[4]{a^{5}}}$$ (b) $${\sqrt{a^{-2}\sqrt[3]{a}}}$$ (c) $${\sqrt{a}\times\sqrt[3]{a^{-2}}\div a^{\frac{1}{6}}}$$

6.

次の式を簡単にしよう．

(a) $${\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{72}}$$ (b) $${(\sqrt{5} - \sqrt{2})^{2}}$$ (c) $${(4\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + 3\sqrt{3})}$$

7.

次の分母または分子を有理化しよう．

(a) $${\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}$$ (b) $${\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2}}}$$ (c) $${\sqrt{n+2} - \sqrt{n-1}}$$