正規分布(normal distribution)

確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} EXP\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right], -\infty < x < \infty$

で与えられるとき，確率変数 $X$

は正規分布に従うといい， $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ と表わします．

$X \sim N(3, 2^{2})$ を表すと，次のようになります．

$\includegraphics[width=14.5cm]{STATFIG/Fig2-1-1.eps}$

このままでは，比較しにくいので，標準化(normalization)を行ないます．

標準化

確率変数 $X$ の平均 $E(X)$ を0に，分散 $V(X)$ を1に直すことを標準化といいます．

標準化の方法

$\displaystyle Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}$

とおくと

$\displaystyle E(Z) = 0, V(Z) = 1$

になります．

$P_{r}(Z \leq z)$ を求めるには， $P_{r}(Z \leq z) = P_{r}(Z \leq 0) + P_{r}(0 < Z \leq z)$ を求めます． $P_{r}(Z \leq 0)$ は標準正規分布の左半分なので，その値は0.5となります． $P_{r}(0 < Z \leq z)$ の値は標準正規分布表を用いて求めます．

図: 正規分布
$\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{STATFIG/Fig4-1.eps} \end{center}\end{figure}$

例題 2..5

$X \sim N(60.9, 2.9^2)$ のとき，
(1) $P(X \leq 63.8)$ を求めよ
(2) $P(62.3 < X \leq 63.0)$ を求めよ．

解答
(1) 標準化を行うと，

$\displaystyle P(X \leq 63.8)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle P(\frac{X - 60.9}{2.9} \leq \frac{63.8 - 60.9}{2.9})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle P(Z \leq \frac{2.9}{2.9}) = P(Z \leq 1)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle P(Z \leq 0) + P(0 \leq Z \leq 1) = 0.5 + 0.3413 = 0.8413$

(2)

		$\displaystyle P(\frac{62.3-60.9}{2.9} < \frac{X - 60.9}{2.9} \leq \frac{63.0 - 60.9}{2.9})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle P(\frac{1.4}{2.9} < Z \leq \frac{2.1}{2.9}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle P(0.48 < Z \leq 0.72)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle P(0 \leq Z \leq 0.72) - P(0 \leq Z \leq 0.48)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 0.2642 - 0.1844 = 0.0798$

統計学演習問題 4

1. $X \sim N(80,6^2)$ のとき，次の確率を求めよ．

(a) $P_{r}(X \leq 90)$

(b) $P_{r}(\vert X - 80\vert \leq 12)$

2. 都市Aの夏期を除く各期の一人一日当たりの水需要量は，これまでの何年かの実績からほぼ $N(210,21^2)$ に従うことが分かっているとする．今年の一人当たりの水需要量(夏期を除く)が250(l/人)以上になる確率を求めよ．