連続型確率分布(continuous probability distribution)

確率密度関数

連続変量の確率分布において，任意の定数 $a,b (a < b)$に対して，確率
$P_{r}(a \leq X \leq b)$が

$$P_{r}(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

で与えられるような連続関数$f(x)$が $(-\infty,\infty)$で存在するとき，この$f(x)$を，この確率分布の確率密度関数(probability density function)といいます．また，確率密度関数は次の性質を持っています．

$$f(x) \geq 0$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$

確率分布

確率変数$X$が区間 $-\infty < X \leq x$にある確率が

$$F(x) = P_{r}(X \leq x)$$

で定められる関数$F(x)$を，確率変数$X$の確率分布(probability distribution)といいます．

平均と分散

確率変数$X$の平均(期待値)と分散は次の式で定義されます．

$$\mu = E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx$$

$$\sigma^2 = V(X) = E\left((X- \mu)^2\right) = \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2 f(x) dx$$