演習問題

次の関数のフーリエ級数を求めよ．またフーリエ級数のグラフを描け．
1． $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 1,&-\pi < x < 0\\ 2,& 0 < x <\pi \end{array}\right .$
2. $f(x) = \vert\sin{x}\vert \in PC[-\pi,\pi]$
3. $f(x) = x \in PC[-\pi,\pi]$
4. $f(x) = x^2 \in PC[-\pi,\pi]$のフーリエ級数を用いて

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$$   を示せ$$.$$

5. $f(x) = x \in PC[-\pi,\pi]$のフーリエ級数を用いて

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$$   を示せ$$.$$