演習問題

1. 次の集合のうち直交系はどれか．また直交系は対応する正規直交系を求めよ．
$$\begin{array}{ll} (a) \{(1,3),(6,-2)\} & (b) \{(1,2,2),(-2,2,... ...rac{1}{3}{\bf k}, 3{\bf i} + 3{\bf j} + {\bf k}\} & \end{array}$$
2. $f(x),g(x)$を$PC[a,b]$の関数とするとき,次の不等式を証明せよ．
$\vert(f,g)\vert \leq \vert\vert f\vert\vert \vert\vert g\vert\vert$　この結果はSchwarzの不等式とよばれる．
3. $PC[0,2]$において,次の関数のノルムを求めよ．
(a) $f(x) = x \ \ \ (b) f(x) = \sin{\pi x} \ \ \ (c) f(x) = \cos{\pi x}$
4. 次にあげる3個の多項式はLegendreの多項式とよばれるものです．
$P_{0}(x) = 1, \ \ P_{1}(x) = x, \ \ P_{2}(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}$.
これらは$PC[-1,1]$で直交系をなすことを示せ．