正弦級数，余弦級数,複素形フーリエ級数(Sine series, Cosine series, Complex Fourier series)

$f(x)$が$[-L,L]$で偶関数ならば， $f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}$は偶関数， $f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}$は奇関数となり，そのフーリエ係数は

$$a_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx$$

$$= \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx (n = 0,1,2\ldots ),$$

$$b_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx = 0 (n = 1,2\ldots )$$

で与えられます．また，$f(x)$が奇関数ならば， $f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}$は奇関数， $f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}$は偶関数となり，そのフーリエ係数は

$$a_{n} = 0 (n = 0,1,2\ldots ),$$

$$b_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx$$

$$= \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx (n = 1,2\ldots )$$

で与えられます．

関数$f(x)$が$[0,L]$で定義されているとき，

$$f_{e}(-x) = \left\{\begin{array}{ll} f(-x), & x \in [-L,0)\\ f(x), & x \in [0,L] \end{array} \right. , \ f_{e}(x) \equiv f_{e}(x + 2L)$$

によって，周期$2L$の偶関数に拡張された関数$f_{e}(x)$を偶関数拡張(even extension)といいます．また，

$$f_{o}(-x) = \left\{\begin{array}{ll} -f(-x), & x \in [-L,0)\\ f(x), & x \in [0,L] \end{array} \right. , f_{o}(x) \equiv f_{o}(x + 2L)$$

によって，周期$2L$の奇関数に拡張された関数$f_{o}(x)$を奇関数拡張(odd extension)といいます．

例題 6..8  

$f(x) = x+1$が$[0,1]$で定義されているとき， $f_{e}(x),f_{o}(x)$を求めよ．

解

$$f_{e}(x) = \left\{\begin{array}{rl} -x+1,& x \in [-1,0)\\ x+1,& ... ...\begin{array}{rl} x-1,& x \in [-1,0)\\ x+1,& x \in [0,1] \end{array}\right . .$$

図: 偶関数拡張と奇関数拡張

$f(x)$の偶関数拡張$f_{e}(x)$は区間$[-L,L]$で区分的に連続．したがって，$f_{e}(x)$のフーリエ級数は次のように表わせます．

$$f_{e}(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos{\frac{n\pi x}{L}},$$

$$a_{0} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f_{e}(x)dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)dx,$$

$$a_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx, n \neq 0.$$

$f_{e}(x)$のフーリエ級数は$[0,L]$での$f(x)$のフーリエ級数，$[-L,0]$での$f(x)$の 偶関数拡張のフーリエ級数を表わします．これより$f_{e}(x)$のフーリエ級数を$f(x)$のフーリエ余弦級数(Fourier cosine transform)といいます．

例題 6..9  

次の関数のフーリエ余弦級数を求めよ．

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x,& 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\\ 0,& \frac{\pi}{2} < x \leq \pi \end{array}\right . .$$

解

$$a_{0} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}... ...rac{x^2}{2}\mid_{0}^{\pi/2}] = \frac{2}{\pi}[\frac{\pi^2}{8}] = \frac{\pi}{4},$$

$$a_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}x\cos{nx}dx \left(\begin{array}{... ...u = x & dv = \cos{nx}dx\\ du = dx & v = \frac{1}{n}\sin{nx} \end{array}\right)$$

$$= \frac{2}{\pi}[\frac{x\sin{nx}}{n}\vert _{0}^{\pi/2} - \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\sin{nx}dx ]$$

$$= \frac{1}{\pi n^2}(2\cos{\frac{n \pi}{2}} + n\pi\sin{\frac{n\pi}{2}} - 2)$$

より

$$f(x) \sim \frac{\pi}{8} + \frac{1}{\pi}[(\pi - 2)\cos{x} - \cos{2... ...(\frac{\pi}{3} + \frac{2}{9})\cos{3x} + \cdots ] . \ensuremath{ \blacksquare}$$

偶関数拡張と同様に奇関数拡張$f_{o}(x)$のフーリエ級数は関数列 $\{\sin{\frac{n\pi x}{L}}\}$を用いて表わすことができます．つまり

$$f_{o}(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}},$$

$$b_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f_{o}(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx.$$

このようにして得たフーリエ級数を$f(x)$のフーリエ正弦級数(Fourier sine transform)といいます．

例題 6..10  

次の関数のフーリエ正弦級数を求めよ．

$$f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x,& 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\\ 0,& \frac{\pi}{2} < x \leq \pi . \end{array}\right .$$

解

$$b_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}x\sin{nx}dx = \frac{2}{\pi}[-\frac{x\cos{nx}}{n}\mid_{0}^{\pi/2} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi/2}\cos{nx}dx ]$$

$$= \frac{2}{\pi}[-\frac{\frac{\pi}{2}\cos{\frac{n\pi}{2}}}{n} + \frac{1}{n^2}\sin{nx}\mid_{0}^{\pi/2}]$$

$$= \frac{1}{\pi n^2}(2\sin{\frac{n\pi}{2}} - n\pi\cos{\frac{n\pi}{2}}).$$

よって，

$$f(x) \sim \frac{1}{\pi}(2\sin{x} + \frac{\pi}{2}\sin{2x} - \frac{2}{9}\sin{3x} - \frac{\pi}{4}\sin{4x} + \cdots ). \ensuremath{ \blacksquare}$$

フーリエ級数の中に現われる $\cos{\frac{n\pi x}{L}}$と $\sin{\frac{n\pi x}{L}}$をEulerの公式 $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$を用いて表わすと

$$f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_{n}(\frac{e^{in\pi x/L} + e^{-in\pi x/L}}{2}) + b_{n}(\frac{e^{in\pi x/L} - e^{-in\pi x/L}}{2i})]$$

$$= \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[(\frac{a_{n}-ib_{n}}{2})e^{in\pi x/L} + (\frac{a_{n} + ib_{n}}{2})e^{-in\pi x/L}]$$

となります． ここで $c_{0} = a_{0}/2, c_{n} = (a_{n} - ib_{n})/2 (n > 0), c_{n} = (a_{-n} + ib_{-n})/2 (n < 0)$とおくと$f(x)$のフーリエ級数は

$$f(x) \sim \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_{n}e^{in\pi x/L}$$

$$c_{n} = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-in\pi x/L}dx$$

で表わされます．このフーリエ級数を複素形フーリエ級数(complex form of Fourier transform)といいます．

例題 6..11  

次の関数を複素形フーリエ級数を用いて表わせ．

$$\left\{\begin{array}{cl} 2,&-\pi \leq x < 0\\ 1,&0 \leq x \leq \pi . \end{array}\right .$$

解

$$c_{0} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \frac{1}{2\pi}[\int_{-\pi}^{0}2dx + \int_{0}^{\pi}dx] = \frac{3}{2},$$

$$c_{n} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx = \frac{1}{2\pi}[\int_{-\pi}^{0}2e^{-inx}dx + \int_{0}^{\pi}e^{-inx}dx]$$

$$= -\frac{1}{i\pi n}e^{-inx}\mid_{-\pi}^{0} - \frac{1}{i2n\pi n}e^{-inx}\mid_{0}^{\pi} = \frac{i}{n\pi}[1-e^{in\pi}] + \frac{1}{2n\pi}[e^{-in\pi}-1]$$

$$= \frac{i}{n\pi}[1-(-1)^{n}] + \frac{i}{2n\pi}[(-1)^{n} - 1] = \lef... ... 0, & n \mbox{even}\\ \frac{i}{n\pi}, & n \mbox{odd} . \end{array}\right .$$

したがって，

$$f(x) \sim \frac{3}{2} + \frac{i}{\pi}\sum_{k=-\infty, k \neq 0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}e^{i(2k+1)x}. \ensuremath{ \blacksquare}$$