整級数解(通常点の場合)(Power series solution)

2階線形微分方程式

$$y^{\prime\prime} + P(x)y^{\prime} + Q(x)y = R(x)$$

において， $P(x), Q(x)$および$R(x)$が点$a$で解析的なとき，点$a$を通常点(ordinary point)といいます．通常点では次の定理が成り立ちます．

定理 4..6   2階線形微分方程式

$$y^{\prime\prime} + P(x)y^{\prime} + Q(x)y = R(x)$$

において，$a$が通常点ならば，任意の定数 $b_{0}, b_{1}$に対して，初期条件

$$y(a) = b_{0}, y^{\prime}(a) = b_{1}$$

を満たす整級数解 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x - a)^{n}$がただひとつ存在する．

例題 4..2  

次の微分方程式の$x = 0$のまわりでの整級数解を求めよ．

$$y^{\prime\prime} + y = e^{x}.$$

解 $P(x) = 0, Q(x) = 1, R(x) = e^{x}$より，$x = 0$は通常点．よって，解を

$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

とおくと，

$$y^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}nc_{n}x^{n-1}, y^{\prime\prime}(x) = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2}$$

となる また， $e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$より，これらを与えられた方程式に代入すると

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$$

を得る．これを整理すると

$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} + \sum_{n=0}^{\infty}(c_{n} - \frac{1}{n!})x^{n} = 0$$

となるので，ここで$x$のベキが$n$になるようにそろえると，

$$\sum_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)c_{n+2} + c_{n} - \frac{1}{n!}]x^{n} = 0$$

右辺は恒等的に0なので，項別微分を行なうと，$x^{n}$の係数はすべて0になる．よって漸化式

$$(n+2)(n+1)c_{n+2} + c_{n} - \frac{1}{n!} = 0 , n \geq 0 .$$

または

$$c_{n+2} = \frac{1}{(n+2)!} - \frac{1}{(n+2)(n+1)}c_{n}$$

を得る． ここで，$c_{0}$と$c_{1}$は初期条件$y(0)$と $y^{\prime}(0)$で決まるので，この場合は任意の定数と考えられる．よって， $c_{2},c_{3},\ldots$を順次求めると

$$c_{2} = \frac{1}{2!} - \frac{c_{0}}{2}, c_{3} = \frac{1}{3!} - \frac{c_{1}}{6}, c_{4} = \frac{c_{0}}{4!}, c_{5} = \frac{c_{1}}{5!}, \cdots$$

これより $c_{n} = c_{n}^{*} + \frac{1}{2(n)!)}$とおくと，漸化式は $c_{n}^{*} = -\frac{1}{n(n-1)}c_{n-2}^{*}$.

これを $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$に代入すると

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}c_{2n}^{*}x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty}c_{2n+1}^{*}x^{2n+1} + \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$$

となる．ここで漸化式を繰り返し用いると，

$$c_{2n}^{*} = \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}c_{0}^{*}, c_{2n+1}^{*} = \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}c_{1}^{*}$$

となりこの方程式の解は次の初等関数で表わせる．

$$y = c_{0}^{*}\cos{x} + c_{1}^{*}\sin{x} + \frac{e^{x}}{2}. \ensuremath{ \blacksquare}$$