微分方程式への応用(Application to differential equation)

ラプラス変換の応用としてここでは2階の定数係数常微分方程式の初期値問題

$$a_{2}y^{\prime\prime} + a_{1}y^{\prime} + a_{0}y = f(t),$$

$$y(t_{0}) = A_{0}, y^{\prime}(t_{0}) = A_{1}$$

を解いてみましょう．初期条件は$t-t_{0}$を新しい変数と考えれば，$t_{0} = 0$の場合に帰着できるので，初期条件は

$$y(0) = B_{0}, y^{\prime}(0) = B_{1}$$

としてよいことになります．ここで両辺にラプラス変換を施し，

$${\cal L}\{y(t)\} = Y(s), {\cal L}\{f(t)\} = F(s)$$

とおくと，

$$a_{2}[s^{2}Y(s) - sy(0) - y^{\prime}(0)] + a_{1}[sY(s) - y(0)] + a_{0}Y(s) = F(s).$$

これを$Y(s)$について解くと

$$Y(s) = \frac{F(s)}{a_{2}s^2 + a_{1}s + a_{0}} + \frac{a_{2}(sB_{0}+B_{1}) + a_{1}B_{0}}{a_{2}s^2 + a_{1}s + a_{0}}.$$

最後に$Y(s)$のラプラス逆変換を求めれば，初期値問題の解が得られます．この手順を例題を用いて示します．

例題 5..24  

ラプラス変換を用いて次の初期値問題を解け．

$$y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} + 2y = \sin{t}, y(0) = 1, y^{\prime}(0) = 1.$$

解 両辺にラプラス変換を施すと

$$s^{2}Y(s) - s - 1 + 2(sY(s) - 1) + 2Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1}.$$

これを$Y(s)$について解くと，

$$Y(s) = \frac{1}{(s^2 + 1)(s^2 + 2s + 2)} + \frac{s+3}{s^2 + 2s + 2}.$$

最初の項を部分分数分解すると

$$\frac{1}{(s^2 + 1)(s^2 + 2s + 2)} = \frac{As + B}{s^2 + 1} + \frac{Cs +D}{s^2 + 2s +2}.$$

ここで

$$As+B\mid_{s=i} = \frac{1}{s^2 +2s +2}\mid_{s=i} = \frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{5}.$$

よって， $B = \frac{1}{5}, A = -\frac{2}{5}$. 同様にして$C,D$を求めると， $C = \frac{2}{5}, D = \frac{3}{5}$.これより，

$${\cal L}^{-1}\{\frac{1}{(s^2 + 1)(s^2 + 2s + 2)}\} = \frac{1}{5}{\cal L}^{-1}\{\frac{1-2s}{s^2 + 1}\} + \frac{1}{5}{\cal L}^{-1}\{\frac{2s+3}{s^2 + 2s +2} \}$$

$$= \frac{1}{5}(\sin{t} - 2\cos{t}) + \frac{e^{-t}}{5}(2\cos{t} + \sin{t}) .$$

また

$${\cal L}^{-1}\{\frac{s+3}{s^2 + 2s +2}\} = {\cal L}^{-1}\{\frac{s+1+2}{(s+1)^2 + 1}\} = e^{-t}(\cos{t} + 2\sin{t}) .$$

したがって，

$$y(t) = \frac{e^{-t}}{5}(7\cos{t}+11\sin{t}) + \frac{1}{5}(\sin{t} - 2\cos{t}). \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..25  

$RC$回路の起電圧を $e^{-t}, t \geq 0$とする．初期電流が$1/R$のとき，この回路に流れている電流を求めよ．(例題1.6参照)

解 Kirchhoffの電圧の法則より，

$$Ri + \frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(u)du = e^{-t}, i(0) = \frac{1}{R}.$$

両辺にラプラス変換を施すと

$$R{\cal L}\{i(t)\} + \frac{1}{C}{\cal L}\{\int_{0}^{t}i(u)du\} = {\cal L}\{e^{-t}\}.$$

ここで ${\cal L}\{i(t)\} = I(s)$とおき，積分法則を用いると，

$$RI(s) + \frac{1}{Cs}I(s) = \frac{1}{s+1}.$$

これを$I(s)$について解くと，

$$I(s) = \frac{Cs}{(RCs + 1)(s+1)} = \frac{A}{RCs + 1} + \frac{B}{s+1}.$$

これより$A,B$を求めると，

$$A = \frac{Cs}{s+1}\mid_{s = -\frac{1}{RC}} = -\frac{C}{RC-1},$$

$$B = \frac{Cs}{RCs+1}\mid_{s = -1} = \frac{C}{RC-1}.$$

よって

$$I(s) = \frac{1}{RCs+1}\cdot\frac{-C}{RC-1} + \frac{1}{s+1}\cdot \frac{C}{RC-1}.$$

これよりラプラス逆変換を用いて$i(t)$を求めると，

$$i(t) = -\frac{C}{RC-1}\frac{1}{RC}e^{-t/RC} + \frac{C}{RC-1}e^{-t}. \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..26  

次の初期値問題を解け．

$$y_{1}^{\prime} + y_{1} + 3y_{2}^{\prime} = 1, y_{1} + y_{2}^{\prime} + 2y_{2} = t ,$$

$$y_{1}(0) = 0, y_{2}(0) = 0.$$

解 与えられた方程式にラプラス変換を施し， ${\cal L}\{y_{1}(t)\} = Y_{1}(s), {\cal L}\{y_{2}(t)\} = Y_{2}(s)$とおくと

$$sY_{1}(s) - y_{1}(0) + Y_{1}(s) + 3(sY_{2}(s) - y_{2}(0)) = \frac{1}{s},$$

$$Y_{1}(s) + sY_{2}(s) - y_{2}(0) + 2Y_{2}(s) = \frac{1}{s^2}.$$

よって

$$(s+1)Y_{1}(s) + 3sY_{2}(s) = \frac{1}{s},$$

$$Y_{1}(s) + (s + 2)Y_{2}(s) = \frac{1}{s^2}.$$

ここでCramerの公式を用いて $Y_{1}(s), Y_{2}(s)$を求めると，

$$Y_{1}(s) = \frac{\left\vert \begin{array}{cc} \frac{1}{s}&3s\\ \frac{1}{s^2... ...y}\right\vert} = \frac{s-1}{s(s^2 +2)} = \frac{-1/2}{s}+\frac{s/2 + 1}{s^2 +2},$$

$$Y_{2}(s) = \frac{\left\vert \begin{array}{cc} s+1&\frac{1}{s}\\ 1&\frac{1}{... ...}\right\vert} = \frac{1}{s^2(s^2 +2)} = \frac{1/2}{s^2} - \frac{1/2 }{s^2 + 2}.$$

これよりラプラス逆変換を用いて $y_{1}(t), y_{2}(t)$を求めると，

$$y_{1}(t) = -\frac{1}{2} + \frac{\cos{\sqrt{2}{t}}}{2} + \frac{\sin{\sqrt{2}{t}}}{\sqrt{2}}$$

$$y_{2}(t) = \frac{t}{2} - \frac{\sin{\sqrt{2}t}}{2\sqrt{2}}$$

となる． $\blacksquare$