2.3 解答

2.3

1.

(a) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^2 - 9 = 0$を得る．これより特性根は $m = \pm 3$．よって基本解は

$$\{e^{3x}, e^{-3x} \}$$

で与えられる．

(b) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^3 + 1 = 0$を得る．

$$m^3 + 1 = (m + 1)(m^2 - m + 1)$$

より特性根は $m = -1, \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$．よって基本解は

$$\{ e^{-x}, e^{\frac{x}{2}}\cos{(\frac{\sqrt{3}x}{2})}, e^{\frac{x}{2}}\sin{(\frac{\sqrt{3}x}{2})} \}$$

で与えられる．

(c) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^3 - 3m - 2 = 0$を得る．

$$m^3 - 3m - 2 = (m + 1)(m^2 - m - 2) = ( m + 1)(m + 1)(m - 2)$$

より特性根は $m = -1, -1, 2$．よって基本解は

$$\{ e^{-x}, xe^{-x}, e^{2x} \}$$

で与えられる．

(d) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^5 + 18 m^3 + 81m = 0$を得る．

$$m^5 + 18 m^3 + 81m = m(m^4 + 18m^2 + 81) = m( m^2 + 9)^{2}$$

より特性根は $m = 0, \pm 3i, \pm 3i$．よって基本解は

$$\{ 1, \cos{3x}, x\cos{3x}, \sin{3x}, x\sin{3x} \}$$

で与えられる．

2.

(a) 特性方程式の根が $m = -2,1,1,1$より基本解は

$$\{e^{-2x}, e^{x}, xe^{x}, x^2 e^{x} \}$$

で与えられ，一般解は

$$y = c_{1}e^{-2x} + (c_{2} + c_{3}x + c_{4}x^2)e^{x} \ \ \framebox{終}$$

(b) 特性方程式の根が $m = 0,0,-1 + 2i, -1 + 2i$より基本解は

$$\{ 1, x, e^{-x}\cos{2x}, e^{-x}\sin{2x}, xe^{-x}\cos{2x}, xe^{-x}\sin{2x} \}$$

で与えられ，一般解は

$$y = c_{1} + c_{2}x + e^{-x}[(c_{3} + c_{4})\cos{2x} + (c_{5} + c_{6}x)\sin{2x}] \ \ \framebox{終}$$

3.

(a) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^2 - 1 = 0$を得る．

$$m^2 - 1 = (m + 1)(m-1)$$

より特性根は$m = -1, 1$．よって基本解は

$$\{ e^{-x}, e^{x} \}$$

で与えられ，一般解は

$$y = c_{1}e^{-x} + c_{2}e^{x}$$

ここで初期値 $y(0) = 1, y^{\prime}(0) = 1$より

$$1 = y(0) = c_{1} + c_{2}$$

$$1 = y^{\prime}(0) = -c_{1} + c_{2}$$

この連立方程式を解くと $c_{1} = 0, c_{2} = 1$．よって

$$y = e^{x} \ \ \framebox{終}$$

(b) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^2 - 6m + 9 = 0$を得る．

$$m^2 - 6m + 9 = (m -3)^2$$

より特性根は$m = 3, 3$．よって基本解は

$$\{ e^{3x}, xe^{3x} \}$$

で与えられ，一般解は

$$y = c_{1}e^{3x} + c_{2}xe^{3x}$$

ここで初期値 $y(0) = 1, y^{\prime}(0) = 2$より

$$1 = y(0) = c_{1}$$

$$2 = y^{\prime}(0) = 3c_{1} + c_{2}$$

この連立方程式を解くと $c_{1} = 1, c_{2} = -1$．よって

$$y = (1 - x)e^{3x} \ \ \framebox{終}$$

(c) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^3 + 7m^2 + 19m + 13 = 0$を得る．

$$m^3 + 7m^2 + 19m + 13 = (m + 1)(m^2 + 6m + 13)$$

より特性根は$m = -1$と $m = \ -3 \pm \sqrt{3^2 - 13} = -3 \pm \sqrt{-4} = -3 \pm 2i$．よって基本解は

$$\{ e^{-x}, e^{-3x}\cos{2x}, e^{3x}\sin{2x} \}$$

で与えられ，一般解は

$$y = c_{1}e^{-x} + e^{-3x}[c_{2}\cos{2x} + c_{3}\sin{2x}]$$

ここで初期値 $y(0) = 0, y^{\prime}(0) = 2, y^{\prime\prime}(0) = -12$と

$$y^{\prime} = -c_{1}e^{-x} -3e^{-3x}[c_{2}\cos{2x} + c_{3}\sin{2x}]$$

$$+ e^{-3x}[-2c_{2}\sin{2x} + 2c_{3}\cos{2x}]$$

$$y^{\prime\prime} = c_{1}e^{-x} + 9e^{-3x}[c_{2}\cos{2x} + c_{3}\sin{2x}]$$

$$- 6e^{-3x}[-2c_{2}\sin{2x} + 2c_{3}\cos{2x}] + e^{-3x}[-4c_{2}\cos{2x} - 4c_{3}\sin{2x}]$$

より

$$= y(0) = c_{1} + c_{2}$$ 0 (A.1)

$$2 = y^{\prime}(0) = -c_{1} -3 c_{2} + 2c_{3} \$$ (A.2)

$$-12 = y^{\prime\prime}(0) = c_{1} + 5c_{2} - 12c_{3} \$$ (A.3)

この連立方程式を解くと $2 = -2c_{2} + 2c_{3}, \ -12 = 4c_{2} - 12c_{3}$より $c_{1} = 0, c_{2} = 0, c_{3} = 1$． よって

$$y = e^{-3x}\sin{2x} \ \ \framebox{終}$$

(d) $y = e^{mx}$を解とおくと，特性方程式 $m^4 + 2m^3 + 10m^2 = 0$を得る．

$$m^4 + 2m^3 + 10m^2 = m^{2}(m^2 + 2m + 10)$$

より特性根は$m = 0, 0$と $m = -1 \pm \sqrt{1^2 - 10} = -1 \pm \sqrt{-9} = -1 \pm 3i$．よって基本解は

$$\{ 1, x, e^{-x}\cos{3x}, e^{-x} \sin{3x}\}$$

で与えられ，一般解は

$$y = c_{1} + c_{2}x + e^{-x}[c_{3}\cos{3x} + c_{4}\sin{3x}]$$

ここで初期値 $y(0) = 5, y^{\prime}(0) = -3, y^{\prime\prime}(0) = 0, y^{\prime\prime\prime}(0) = 0$と

$$y^{\prime} = c_{2} - e^{-x}[c_{3}\cos{3x} + c_{4}\sin{3x}]$$

$$+ e^{-x}[-3c_{3}\sin{3x} + 3c_{4}\cos{3x}$$

$$y^{\prime\prime} = e^{-x}[c_{3}\cos{3x} + c_{4}\sin{3x}]$$

$$- 2e^{-x}[-3c_{3}\sin{3x} + 3c_{4}\cos{3x}] + e^{-x}[-9c_{3}\cos{3x} - 9c_{4}\sin{3x}]$$

$$y^{\prime\prime\prime} = - e^{-x}[c_{3}\cos{3x} + c_{4}\sin{3x}] + 3e^{-x}[-3c_{3}\sin{3x} + 3c_{4}\cos{3x}]$$

$$- 3e^{-x}[-9c_{3}\cos{3x} - 9c_{4}\sin{3x}] + e^{-x}[27c_{3}\sin{3x} -27c_{4}\cos{3x}]$$

より

$$5 = y(0) = c_{1} + c_{3} \$$ (A.4)

$$-3 = y^{\prime}(0) = c_{2} - c_{3} + 3c_{4} \$$ (A.5)

$$= y^{\prime\prime}(0) = c_{3} - 6c_{4} - 9c_{3} \$$ 0 (A.6)

$$= y^{\prime\prime\prime}(0) = -c_{3} + 9c_{4} + 27 c_{3} - 27 c_{4}$$ 0 (A.7)

この連立方程式を解くと $c_{1} = 5, c_{2} = -3, c_{3} = c_{4} = 0$．よって

$$y = 5 - 3x \ \ \framebox{終}$$