2.2 解答

2.2

1.

(a) $y = uy_{1} = u e^{2x}$とおくと

$$2(y = u e^{2x})$$

$$-3(y^{\prime} = 2ue^{2x} + u^{\prime} e^{2x})$$

$$\underline{+ y^{\prime\prime} } = \underline{ 4u e^{2x} + 4u^{\prime}e^{2x} + u^{\prime\prime} e^{2x} }$$

$$= u^{\prime}e^{2x} + u^{\prime\prime}e^{2x}$$ 0

より

$$u^{\prime\prime} + u^{\prime} = 0$$

を得る．ここで $w = u^{\prime}$とおくと

$$w^{\prime} + w = 0$$

となり，これは1階の線形微分方程式または変数分離形と考えられる．積分因子を用いて解くと $\mu = e^{\int dx} = e^{x}$より，これを両辺にかけて $(e^{x} w)^{\prime} = 0$を得る．これを解くと $e^{x} w = c_{1}$より

$$w = c_{1}e^{-x}$$

ここで $w = u^{\prime}$に注意すると

$$u = \int c_{1}e^{-x} dx = c_{1}e^{-x} + c_{2}$$

最後に $y = ue^{2x}$であることに注意して次の一般解を得る．

$$y = ue^{2x} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{2x} \ \ \framebox{終}$$

(b) $y = uy_{1} = u x^{2}$とおくと

$$4(y = u x^{2})$$

$$-3x(y^{\prime} = 2 u x + u^{\prime} x^{2})$$

$$\underline{x^{2} y^{\prime\prime} } = \underline{ 2u + 4u^{\prime}x + u^{\prime\prime} x^{2} }$$

$$= u^{\prime}x^{3} + u^{\prime\prime}x^{4}$$ 0

を得る．ここで $w = u^{\prime}$とおくと

$$x^{4}w^{\prime} + x^{3}w = 0$$

となり，これは1階の線形微分方程式または変数分離形と考えられる．変数分離法を用いて解くと

$$\frac{w^{\prime}}{w} = - \frac{1}{\vert x\vert}$$

より $\log{\vert w\vert} = - \log{\vert x\vert} + c$．よって $w = c_{1}/x$となる． ここで $w = u^{\prime}$に注意すると

$$u = \int \frac{c_{1}}{x} dx = c_{1}\log{\vert x\vert} + c_{2}$$

最後に $y = uex^{2}$であることに注意すると次の一般解を得る．

$$y = ux^{2} = c_{1}x^{2}\log{x} + c_{2}x^{2} \ \ \framebox{終}$$

(c) $y = uy_{1} = u e^{-x}$とおくと

$$-(y = u e^{-x})$$

$$y^{\prime} = - u e^{-x} + u^{\prime} e^{-x}$$

$$\underline{+ y^{\prime\prime} } = \underline{ u e^{-x} - 2u^{\prime}e^{-x} + u^{\prime\prime} e^{-x} }$$

$$e^{-x} = -2 u^{\prime}e^{-x} + u^{\prime\prime}e^{-x}$$

より

$$u^{\prime\prime} - 2u^{\prime} = 1$$

を得る．ここで $w = u^{\prime}$とおくと

$$w^{\prime} - 2 w = 1$$

となり，これは1階の線形微分方程式より積分因子を求めると $\mu = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$となる．これを両辺にかけると左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数より

$$(e^{-2x} w)^{\prime} = e^{-2x}$$

を得る．これを解くと

$$e^{-2x} w = \int e^{-2x} dx = - \frac{1}{2}e^{-2x} + c$$

より

$$w = -\frac{1}{2} + c e^{2x}$$

ここで $w = u^{\prime}$に注意すると

$$u = \int (-\frac{1}{2} + c e^{2x}) dx = -\frac{x}{2} + c_{1}e^{2x} + c_{2}$$

最後に $y = ue^{-x}$であることに注意して次の一般解を得る．

$$y = ue^{-x} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} - \frac{xe^{-x}}{2} \ \ \framebox{終}$$

(d) $y = uy_{1} = u \cos{x}$とおくと

$$+(y = u \cos{x})$$

$$y^{\prime} = u^{\prime} \cos{x} - u \sin{x}$$

$$\underline{+ y^{\prime\prime} } = \underline{ u^{\prime\prime} \cos{x} - 2u^{\prime} \sin{x} - u \cos{x} }$$

$$\sec{x} = u^{\prime\prime} \cos{x} - 2u^{\prime} \sin{x}$$

より

$$u^{\prime\prime} - 2u^{\prime} \tan{x} = \sec^{2}{x}$$

を得る．ここで $w = u^{\prime}$ とおくと

$$w^{\prime} - 2\tan{x} w = \sec^{2}{x}$$

となり，これは1階の線形微分方程式より積分因子を求めると $\mu = e^{\int -2\tan{x} dx} = e^{2 \log{\cos{x}}} = \cos^{2}{x}$ となる．これを両辺にかけると左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数より $(\cos^{2}{x} w)^{\prime} = 1$ を得る．これを解くと

$$\cos^{2}{x} w = \int dx = x + c_{1}$$

より

$$w = (x+c_{1})\sec^{2}{x}$$

ここで $w = u^{\prime}$に注意すると

$$u = \int (x + c_{1}) \sec^{2}{x} dx \ \ \left(\begin{array}{ll} u = x... ...sec^{2}{x} dx\\ du = dx & v = \int sec^{2}{x} dx = \tan{x} \end{array}\right )$$

$$= (x + c)\tan{x} - \int \tan{x} dx = (x + c_{1})\tan{x} + \log{\vert\cos{x}\vert} + c_{2}$$

最後に $y = u \cos{x}$であることに注意して次の一般解を得る．

$$y = u\cos{x} = c_{1}\sin{x} + c_{2}\cos{x} + \cos{x}\log{\vert\cos{x}\vert} + x\sin{x} \ \ \framebox{終}$$

2.

$y_{2} = uy_{1}$とおくと

$$+a_{0}(x)(y_{2} = u y_{1})$$

$$a_{1}(x)(y_{2}^{\prime} = u^{\prime} y_{1} + u y_{1}^{\prime})$$

$$\underline{+ y_{2}^{\prime\prime} } = \underline{ u^{\prime\prime} y_{1} + 2u^{\prime}y_{1}^{\prime}+ u y^{\prime\prime} }$$

$$= u(y^{\prime\prime} + a_{1}(x)y^{\prime} + a_{0}(x)y) + u^{\prime\prime}y_{1} + 2u^{\prime} y_{1}^{\prime} + a_{1}(x)u^{\prime}y_{1}$$ 0

より

$$u^{\prime\prime}y_{1} + (2y_{1}^{\prime} + a_{1}(x)y_{1})u^{\prime} = 0$$

を得る．ここで $w = u^{\prime}$とおくと

$$w^{\prime}y_{1} + (2y_{1}^{\prime} + a_{1}(x)y_{1}) w = 0$$

となり，これは1階の線形微分方程式より積分因子を求めると

$$\mu = e^{\int (\frac{2y_{1}^{\prime}}{y_{1}} + a_{1}(x))dx } = e^{2\log{y_{1}} + \int a_{1}(x) dx} = y_{1}^{2}e^{\int a_{1}(x) dx}$$

となる．これを両辺にかけると左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数より

$$(y_{1}^{2}e^{\int a_{1}(x) dx} w)^{\prime} = 0$$

を得る．これを解くと

$$y_{1}^{2}e^{\int a_{1}(x) dx} w = c$$

より

$$w = \frac{c e^{- \int a_{1}(x) dx}}{y_{1}^{2}}$$

ここで $w = u^{\prime}$に注意すると

$$u = c\int \frac{ e^{-\int a_{1}(x) dx}}{y_{1}^{2}} dx$$

$$= c\int \frac{ e^{-\int a_{1}(x) dx}}{y_{1}^{2}} dx$$

最後に $y_{2} = uy_{1}$より

$$y_{2} = c y_{1}\int \frac{e^{-\int a_{1}(x) dx}}{y_{1}^{2}}dx \ \ \framebox{終}$$