2.1 解答

2.1

1.

(a) $L(y) = y^{\prime\prime\prime} + y^{\prime\prime} -10y^{\prime} + 8y$とおくと

$$L(e^{mx}) = m^{3}e^{mx} + m^{2}e^{mx} - 10me^{mx} + 8e^{mx}$$

$$= e^{mx}(m^3 + m^2 - 10m + 8)$$

$$= e^{mx}(m-1)(m^2 + 2m - 8) = e^{mx}(m-1)(m-2)(m+4)$$

より $m = -4, 1, 2$のとき， $L(e^{mx}) = 0$となる．よって $e^{-4x},e^{x},e^{2x}$は解であり一般解は

$$y = c_{1}e^{-4x} + c_{2}e^{x} + c_{3}e^{2x}$$

となる．またこれらの解が確かに一次独立であることを示すにはWronskiの行列式が零でないことを示せばよい．

$$W(e^{-4x},e^{x},e^{2x}) = \left \vert \begin{array}{ccc} e^{-4x}... ... \\ -4 & 1 & 2 \\ 16 & 1 & 4 \end{array} \right \vert = 30e^{-x} \neq 0 \$$

(b) $L(y) = y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 3y$とおくと

$$L(e^{mx}) = m^{2}e^{mx} + 4me^{mx} + 3e^{mx}$$

$$= e^{mx}(m^2 + 4m + 3)$$

$$= e^{mx}(m+1)(m+3)$$

より $m = -3, -1$のとき， $L(e^{mx}) = 0$となる．よって $e^{-3x},e^{-x}$は解であり一般解は

$$y = c_{1}e^{-3x} + c_{2}e^{-x}$$

となる．またこれらの解が確かに一次独立であることを示すにはWronskiの行列式が零でないことを示せばよい．

$$W(e^{-3x},e^{-x}) = \left \vert \begin{array}{cc} e^{-3x} & e^{-... ... -3e^{-3x} & -e^{-x} \end{array} \right \vert = -e^{-4x} \neq 0 \ \framebox{終}$$

(c) $L(y) = y^{\prime\prime} - y^{\prime}$とおくと

$$L(e^{mx}) = m^{2}e^{mx} - me^{mx}$$

$$= e^{mx}(m^2 - m)$$

$$= e^{mx}(m(m - 1))$$

より$m = 0 , 1$のとき， $L(e^{mx}) = 0$となる．よって$1,e^{x}$は解であり一般解は

$$y = c_{1} + c_{2}e^{x}$$

となる．またこれらの解が確かに一次独立であることを示すにはWronskiの行列式が零でないことを示せばよい．

$$W(1,e^{x}) = \left \vert \begin{array}{cc} 1 & e^{x} \\ 0 & e^{x} \end{array} \right \vert = e^{x} \neq 0 \ \framebox{終}$$

(d) $L(y) = y^{\prime\prime\prime} - 8y^{\prime\prime} + 7y^{\prime}$とおくと

$$L(e^{mx}) = m^{3}e^{mx} - 8m^{2}e^{mx} + 7me^{mx}$$

$$= e^{mx}(m^3 - 8m^{2} + 7m)$$

$$= e^{mx}(m(m^2 - 8m + 7)) = e^{mx}(m(m-1)(m-7))$$

より $m = 0, 1, 7$のとき， $L(e^{mx}) = 0$となる．よって $1,e^{x},e^{7x}$は解であり一般解は

$$y = c_{1} + c_{2}e^{x} + c_{3}e^{7x}$$

となる．またこれらの解が確かに一次独立であることを示すにはWronskiの行列式が零でないことを示せばよい．

$$W(1,e^{x},e^{7x}) = \left \vert \begin{array}{ccc} 1 & e^{x} & e... ...& e^{x} & 49 e^{7x} \end{array} \right \vert = 42 e^{8x} \neq 0 \ \framebox{終}$$

2.

(a) $L(y) = y^{\prime\prime} + 4y$とおくと

$$L(\cos{mx}) = -m^{2}\cos{mx} + 4\cos{mx}$$

$$= \cos{mx}(4 - m^2)$$

$$= \cos{mx}(2 + m)(2 - m)$$

より$m = -2, 2$のとき， $L(\cos{mx}) = 0$となる．よって $\cos{(-2x)} = \cos{2x}$は解である．また

$$L(\sin{mx}) = -m^{2}\sin{mx} + 4\sin{mx}$$

$$= \sin{mx}(4 - m^2)$$

$$= \sin{mx}(2 + m)(2 - m)$$

より$m = -2, 2$のとき， $L(\sin{mx}) = 0$となる．よって $\sin{-2x} = -\sin{2x}$は解である．ここで $\cos{2x}$ と $\sin{2x}$ は

$$W(\cos{2x},\sin{2x}) = \left \vert \begin{array}{cc} \cos{2x} & \sin{2x} \\ -2\sin{2x} & 2\cos{2x} \end{array} \right \vert = 2$$

より一次独立．よって一般解は

$$y = c_{1}\cos{2x} + c_{2}\sin{2x} \ \ \framebox{終}$$

(b) $L(y) = y^{(4)} + 4y^{\prime\prime} + 3y$ とおくと

$$L(\cos{mx}) = m^{4}\cos{mx} - 4m^{2}\cos{mx} + 3\cos{mx}$$

$$= \cos{mx}(m^4 - 4m^2 + 3)$$

$$= \cos{mx}(m^2 - 1)(m^2 - 3)$$

より $m = \pm 1, \pm \sqrt{3}$ のとき， $L(\cos{mx}) = 0$ となる．よって $\cos{x}, \cos{\sqrt{3}x}$ は解である．また

$$L(\sin{mx}) = m^4 \sin{mx} - 4m^{2}\sin{mx} + 3\sin{mx}$$

$$= \sin{mx}(m^4 - 4m^2 + 3)$$

$$= \sin{mx}(m^2 - 1)(m^2 - 3)$$

より $m = \pm 1, \pm \sqrt{3}$ のとき， $L(\sin{mx}) = 0$ となる．よって $\sin{x}, \sin{\sqrt{3}x}$ は解である．ここで

$$\cos{x}, \cos{\sqrt{3}x}, \sin{x}, \sin{\sqrt{3}x}$$

が1次独立かWronskiを用いて調べると

$$W = \left \vert \begin{array}{cccc} \cos{x} & \cos{\sqrt{3}x} & \sin{... ...n{\sqrt{3}x} & -\cos{x} & -3\sqrt{3}\cos{\sqrt{3}x} \\ \end{array}\right \vert$$

$$= -4\sqrt{3}$$

より一次独立．よって一般解は

$$y = c_{1}\cos{x} + c_{2}\sin{x} + c_{3}\cos{\sqrt{3}x} + c_{4}\sin{\sqrt{3}x} \ \ \framebox{終}$$

3.

(a) $L(y) = x^{2}y^{\prime\prime} + x y^{\prime} - 4 y$とおくと

$$L(x^{m}) = x^{2}m(m-1)x^{m-2} + x mx^{m-1} - 4x^{m}$$

$$= x^{m}(m^2 - m + m - 4) = x^{m}(m^2 - 4)$$

$$= x^{m}(m + 2)(m - 2)$$

より$m = \pm 2$のとき， $L(x^{m}) = 0$となる．よって $x^{-2}, x^{2}$は解である． ここで $x^{-2}, x^{2}$は

$$W(x^{-2}, x^{2}) = \left \vert \begin{array}{cc} x^{-2} & x^{2} \\ -2x^{-3} & 2x \end{array} \right \vert = 4x^{-1}$$

より一次独立．よって一般解は

$$y = c_{1}x^{-2} + c_{2}x^{2} \ \ \framebox{終}$$

(b) $L(y) = x^{2}y^{\prime\prime} - x y^{\prime} - 3y$とおくと

$$L(x^{m}) = x^{2}m(m-1)x^{m-2} - x mx^{m-1} - 3x^{m}$$

$$= x^{m}(m^2 - m - m - 3) = x^{m}(m^2 - 2m - 3)$$

$$= x^{m}(m + 1)(m - 3)$$

より$m = -1, 3$のとき， $L(x^{m}) = 0$となる．よって $x^{-1}, x^{3}$は解である． ここで $x^{-1}, x^{2}$は

$$W(x^{-1}, x^{2}) = \left \vert \begin{array}{cc} x^{-1} & x^{3} \\ -x^{-2} & 3x^{2} \end{array} \right \vert = 4x$$

より一次独立．よって一般解は

$$y = c_{1}x^{-1} + c_{2}x^{3} \ \ \framebox{終}$$