2.4 解答

2.4

1.

(a) 補助方程式 $L(y) = y^{\prime\prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0$の特性方程式は $m^2 - 4m + 4 = 0$より特性根 $m = 2 \$   重根を得る．よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x}$$

となる．次に特殊解$y_{p}$を未定係数法を用いて求める． $D = d/dx, H(D) = D - 1$とおくと，

$$H(D)e^{x} = (D - 1)e^{x} = De^{x} - e^{x} = e^{x} - e^{x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p}$は

$$(H(D)L(D))y = (D - 1)(D^2 - 4D + 4)y = ((D - 1)(D - 2)^2 )y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m -1)(m - 2)^2 = 0$より基本解は $e^{x}, \ e^{2x}, \ xe^{2x}$であるが， $e^{2x}, xe^{2x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p} = Ae^{x}$$

と表わせる．これを $L(D)y = e^{x}$に代入すると

$$L(D)Ae^{x} = Ae^{x} - 4Ae^{x} + 4Ae^{x} = e^{x}$$

となるので，$A = 1$を得る．これより特殊解は

$$y_{p} = e^{x}$$

で一般解は

$$y = y_{c} + y_{p} = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x} + e^{x} \ \ \framebox{終}$$

(b) 補助方程式 $L(y) = y^{\prime\prime} - 4y^{\prime} + 4y = 0$の特性方程式は $m^2 - 4m + 4 = 0$より特性根 $m = 2 \$   重根を得る．よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x}$$

となる．次に特殊解$y_{p}$を未定係数法を用いて求める． $D = d/dx, H(D) = D - 2$とおくと，

$$H(D)e^{x} = (D - 2)e^{2x} = De^{2x} - 2e^{2x} = 2e^{2x} - 2e^{2x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p}$は

$$(H(D)L(D))y = (D - 2)(D^2 - 4D + 4)y = ((D - 2)^3 )y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m - 2)^3 = 0$より基本解は $e^{2x}, \ xe^{2x}, \ x^2 e^{2x}$であるが， $e^{2x}, xe^{2x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p} = Ax^{2}e^{x}$$

と表わせる．これを $L(D)y = e^{2x}$に代入すると

$$\begin{array}{ll} 4(y_{p} &= Ax^2 e^{2x}) \\ -4(Dy_{p} &= 2A... ...x} + 8Ax e^{2x} + 2Ae^{2x}} \\ e^{2x} & = 2Ae^{2x} \end{array}$$

より$A = 1/2$を得る．これより特殊解は

$$y_{p} = \frac{1}{2}x^2 e^{2x}$$

で一般解は

$$y = y_{c} + y_{p} = c_{1}e^{2x} + c_{2}xe^{2x} + \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \ \ \framebox{終}$$

(c) 補助方程式 $L(y) = y^{\prime\prime} + 4y = 0$の特性方程式は $m^2 + 4 = 0$より特性根 $m = \pm 2i$を得る．よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}\cos{2x} + c_{2}\sin{2x}$$

となる．次に特殊解$y_{p}$を未定係数法を用いて求める． $D = d/dx, H(D) = D^2 + 4$とおくと，

$$H(D)\sin{2x} = (D^2 + 4)\sin{2x} = D^2 \sin{2x} + 4 \sin{2x} = -4 \sin{2x} + 4\sin{2x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p}$は

$$(H(D)L(D))y = ( (D^2 + 4)^2 )y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m^2 + 4)^2 = 0$より基本解は

$$\{ \cos{2x}, \sin{2x}, x\cos{2x}, x\sin{2x}\}$$

であるが， $\cos{2x}, \sin{2x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p} = Ax \cos{2x} + Bx\sin{2x}$$

と表わせる．これを $L(D)y = \sin{2x}$に代入すると

$$\begin{array}{ll} 4(y_{p} &= Ax \cos{2x} + Bx\sin{2x}) \\ D... ...\sin{2x}} \\ \sin{2x} & = -4A\sin{2x} + 4B\cos{2x} \end{array}$$

より $A = -1/4, \ B = 0$を得る．これより特殊解は

$$y_{p} = -\frac{1}{4}x\cos{2x}$$

で一般解は

$$y = y_{c} + y_{p} = c_{1}\cos{2x} + c_{2}\sin{2x} - \frac{1}{4}x\cos{2x} \ \ \framebox{終}$$

(d) 補助方程式 $L(y) = y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0$の特性方程式は $m^2 - 3m + 2 = (m -1)(m-2) = 0$より特性根 $m = 1, \ 2$を得る．よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{2x}$$

となる．次に特殊解$y_{p}$を未定係数法を用いて求める．重ね合わせの原理より $L(D)y = e^{x}$の特殊解$y_{p_{1}}$， $L(D)y = e^{2x}$の特殊解$y_{p_{2}}$, $L(D)y = e^{-x}$の特殊解$y_{p_{3}}$を求めれば $y_{p} = y_{p_{1}} + y_{p_{2}} + y_{p_{3}}$で与えられる．

$$H(D)e^{x} = (D- 1)e^{x} = e^{x} - e^{x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p_{1}}$は

$$(H(D)L(D))y = (D-1)^{2}(D-2)y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m-1)^{2} (m-2)= 0$より基本解は $e^{x}, xe^{x}, e^{2x}$であるが， $e^{x}, e^{2x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p_{1}} = Ax e^{x}$$

と表わせる．次に

$$H(D)e^{2x} = (D- 2)e^{2x} = 2e^{2x} - 2e^{2x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p_{2}}$は

$$(H(D)L(D))y = ((D-1)(D-2)^2)y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m-1) (m-2)^{2}= 0$より基本解は $e^{x}, \ e^{2x}, \ xe^{2x}$であるが， $e^{x}, e^{2x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p_{2}} = Bx e^{2x}$$

と表わせる．最後に

$$H(D)e^{-x} = (D+ 1)e^{-x} = -e^{-x} + e^{-x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p}$は

$$(H(D)L(D))y = ((D+1)(D-1)(D-2))y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m+1)(m-1)(m-2)= 0$より基本解は $e^{-x}, e^{x}, e^{2x}$であるが， $e^{x}, e^{2x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p_{1}} = C e^{-x}$$

と表わせる．ここで $y_{p} = y_{p_{1}} + y_{p_{2}} + y_{p_{3}}$を $L(D)y = e^{x} + e^{2x} + e^{-x}$に代入すると

$$\begin{array}{ll} 2(y_{p} &= Ax e^{x} + Bxe^{2x} + Ce^{-x}) ... ... + e^{2x} + e^{-x} & = -Ae^{x} + Be^{2x} + 6Ce^{-x} \end{array}$$

より $A = -1, \ B =1, \ C = 1/6$を得る．これより特殊解は

$$y_{p} = - xe^{x} + xe^{2x} + \frac{1}{6}e^{-x}$$

で一般解は

$$y = y_{c} + y_{p} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{2x} - xe^{x} + xe^{2x} + \frac{1}{6}e^{-x} \ \ \framebox{終}$$

(e) 補助方程式 $L(y) = y^{\prime\prime\prime} - 3y^{\prime} - 2y = 0$の特性方程式は $m^3 - 3m - 2 = (m+1)(m^2 - m - 2) = ( m+1)(m+1)(m-2)= 0$より特性根 $m = -1, -1, 2$を得る．よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}e^{-x} + c_{2}xe^{-x} + c_{3}e^{2x}$$

となる．次に特殊解$y_{p}$を未定係数法を用いて求める． $D = d/dx, H(D) = D^2 - 4D + 8$とおくと，

$$H(D)e^{2x}\sin{2x} = (D^2 - 4D + 8 )e^{2x}\sin{2x} = 0$$

より求める特殊解 $y_{p}$ は

$$(H(D)L(D))y = (D^3 - 3D - 2)(D^2 - 4D + 8 )y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m+1)^{2}(m - 2)(m^2 - 4m + 8) = 0$ より基本解は

$$e^{-x}, xe^{-x}, e^{2x}, e^{2x}\cos{2x}, e^{2x}\sin{2x}$$

であるが， $e^{-x}, xe^{-x}, e^{2x}$ は余関数の解なので省くと

$$y_{p} = Ae^{2x}\cos{2x} + Be^{2x}\sin{2x}$$

と表わせる．これを $L(D)y = e^{2x}\sin{2x}$ に代入すると

$$\begin{array}{ll} -2(y_{p} &= Ae^{2x}\cos{2x} + Be^{2x}\sin{... ...2x}\cos{2x} + 10Be^{2x}\cos{2x} - 24Be^{2x}\sin{2x} \end{array}$$

より連立方程式

$$\left\{\begin{array}{ll} -10A - 24B &= 1\\ -24A + 10B &= 0 \end{array}\right.$$

を得る．これを解くと $A = 5/338, \ B = -12/338$を得る．これより特殊解は

$$y_{p} = \frac{5}{338}e^{2x}\sin{2x} - \frac{12}{338}e^{2x}\cos{2x}$$

で一般解は

$$y = y_{c} + y_{p} = (c_{1} + c_{2}x)e^{-x} + c_{3}e^{2x} \sin{2x}$$

$$+ \frac{1}{338}(5e^{2x}\sin{2x} - 12e^{2x}\cos{2x}) \ \ \framebox{終}$$

(f) 補助方程式 $L(y) = y^{(iv)} + 2y^{\prime\prime} + y = 0$の特性方程式は $m^4 + 2m^2 + 1 = (m^2 + 1)^{2} = 0$より特性根 $m = \pm 1, \pm 1$を得る．よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = (c_{1} + c_{2}x)\cos{x} + (c_{3} + c_{4})\sin{x}$$

となる．次に特殊解$y_{p}$を未定係数法を用いて求める． $H(D)=(D-1)^{3}$とおくと，

$$H(D)x^{2}e^{x} = ((D-1)^{3} )x^2 e^{x} = (D^3 - 3D^2 + 3D - 1)x^2 e^{x} = 0$$

より求める特殊解$y_{p}$は

$$(H(D)L(D))y = (D^4 + 2D^2 + 1)((D - 1)^{3} )y = 0$$

の解である．この方程式の特性方程式は $(m^2 +1)^{2}(m-1)^3 = 0$より基本解は

$$\{\cos{x}, x\cos{x}, \sin{x}, x\sin{x}, e^{x}, xe^{x}, x^2 e^{x} \}$$

であるが， $\cos{x}, x\cos{x}, \sin{x}, x\sin{x}$は余関数の解なので省くと

$$y_{p} = Ax^2 e^{x} + Bx e^{x} + Ce^{x}$$

と表わせる．これを $L(D)y = x^2 e^{x}$に代入すると

$$\begin{array}{ll} + (y_{p} &= Ax^2 e^{x} + Bx e^{x} + Ce^{x}... ...2 e^{x} + (16A + 4B)xe^{x} + (16A + 8B + 4C)e^{x} \end{array}$$

より連立方程式

$$\left\{\begin{array}{ll} 4A & = 1\\ 16A + 4B &= 0\\ 16A + 8B + 4C &= 0 \end{array}\right.$$

を得る．これを解くと $A = 1/4, \ B = -1, \ C = 1$を得る．これより特殊解は

$$y_{p} = \frac{-1}{4}x^2 e^{x} - xe^{x} + e^{x}$$

で一般解は

$$y = y_{c} + y_{p} = (c_{1} + c_{2}x)\cos{x} + (c_{3} + c_{4})\sin{x}$$

$$+ \frac{1}{4}e^{x}(x^2 - 4x + 4) \ \ \framebox{終}$$