1.6 解答

1.6

1.

(a) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$$y^{\prime} - \frac{\sin{x}}{\cos{x}} y = - \frac{e^{x}}{\cos{x}}$$

積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp( -\int \frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx) = \exp(\log{\cos{x}}) = \cos{x}$$

これを標準形にかけると

$$\cos{x}y^{\prime} - \sin{x} y = - e^{x}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(\cos{x} y)^{\prime} = - e^{x}$$

この両辺を$x$で積分すると

$$\cos{x} y = - \int e^{x} dx = - e^{x} + c$$

よって一般解は

$$y = \frac{c - e^{x}}{\cos{x}} \ \ \framebox{終}$$

(b) この方程式は1階の線形である．積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp( \int 2x dx) = \exp(x^2) = e^{x^2}$$

これを標準形にかけると

$$e^{x^{2}}y^{\prime} + 2xe^{x^2}y = 2x e^{x^2}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(e^{x^2} y)^{\prime} = 2x e^{x^2}$$

この両辺を$x$で積分すると

$$e^{x^2} y = \int 2x e^{x^2} dx = e^{x^2} + c$$

よって一般解は

$$y = 1 + ce^{-x^2} \ \ \framebox{終}$$

(c) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$$y^{\prime} + \frac{1}{x} y = \sin{x}$$

積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp( \int \frac{1}{x}dx) = \exp(\log{x}) = x$$

これを標準形にかけると

$$xy^{\prime} + y = x \sin{x}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(x y)^{\prime} = x \sin{x}$$

この両辺を$x$で積分すると

$$x y = \int x \sin{x} dx \ \ \left(\begin{array}{cc} u = x & dv = \sin{x}\\ du = dx & v = - \cos{x} \end{array}\right)$$

$$= - x\cos{x} + \int \cos{x} + c = - x \cos{x} + \sin{x} + c$$

よって一般解は

$$y = \frac{- x \cos{x} + \sin{x} + c}{x} \ \ \framebox{終}$$

(d) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$$y^{\prime} + \frac{1 + x}{x} y = \frac{e^{-x}\sin{2x}}{x}$$

積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp( \int \frac{1 + x}{x}dx) = \exp(\int (1 + \frac{1}{x})dx) = \exp(x + \log{x}) = xe^{x}$$

これを標準形にかけると

$$xe^{x}y^{\prime} + e^{x}(1+x) y = \sin{2x}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(xe^{x}y)^{\prime} = \sin{2x}$$

この両辺を$x$で積分すると

$$xe^{x}y = - \frac{\cos{2x}}{2} + c$$

よって一般解は

$$y = \frac{ \cos{2 x} + c}{2xe^{x}} \ \ \framebox{終}$$

2.

(a) この方程式は1階の線形である．積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp( \int \cos{x} dx) = \exp(\sin{x}) = e^{\sin{x}}$$

これを標準形にかけると

$$e^{\sin{x}}y^{\prime} + e^{\sin{x}}\cos{x} y = 1$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(e^{\sin{x}}y)^{\prime} = 1$$

この両辺を$x$で積分すると

$$e^{\sin{x}}y = x + c$$

よって一般解は

$$y = (x + c) e^{- \sin{x}}$$

ここで初期値$y(0) = 2$を用いると $2 = c e^{0} = c$より

$$y = (x + 2) e^{- \sin{x}} \ \ \framebox{終}$$

(b) この方程式は1階の線形である．標準形に直すと

$$y^{\prime} - \frac{1}{x\log{x}} y = \frac{1}{x}$$

積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp(- \int \frac{1}{x\log{x}} dx) = \exp( - \log(\log{x})) = \frac{1}{\log{x}}$$

これを標準形にかけると

$$\frac{1}{x\log{x}}y^{\prime} - \frac{1}{x(\log{x})^{2}} y = \frac{1}{x\log{x}}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(\frac{1}{\log{x}}y)^{\prime} = \frac{1}{x\log{x}}$$

この両辺を$x$で積分すると

$$\frac{1}{\log{x}}y = \log(\log{x}) + c$$

よって一般解は

$$y = \log{x}(\log\log{x} + c)$$

ここで初期値$y(e) = -1$を用いると $-1 = \log{e}(\log{1} + c) = c$より

$$y = \log{x}(\log\log{x} - 1) \ \ \framebox{終}$$

(c) この方程式は1階の線形である．積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp(\int 1 dx) = e^{x}$$

これを標準形にかけると

$$e^{x}y^{\prime} + e^{x} y = e^{x} f(x)$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(e^{x} y)^{\prime} = e^{x} f(x)$$

この両辺を$x$で積分すると

$$e^{x} y = \left\{\begin{array}{ll} e^{x} + c_{1} & 0 \leq x < 1\\ c_{2} & x \geq 1 \end{array} \right.$$

よって一般解は

$$y = \left\{\begin{array}{ll} 1 + c_{1}e^{-x} & 0 \leq x < 1\\ c_{2}e^{-x} & x \geq 1 \end{array} \right.$$

ここで初期値$y(0) = 0$を用いると $0 = 1 + c_{1}$より $c_{1} = -1$．よって $0 \leq x < 1$のとき， $y = 1 - e^{-x}$．また微分方程式の解は連続であると仮定できるので $y(1) = 1 - e^{-1}$より $1 - e^{-1} = c_{2} e^{-1}$．よって $c_{2} = e - 1$．これより

$$y = \left\{\begin{array}{ll} 1 - e^{-x} & 0 \leq x < 1\\ (e - 1)e^{-x} & x \geq 1 \end{array} \right. \ \ \ \framebox{終}$$

(d) この方程式は1階の線形である．積分因子$\mu$は

$$\mu = \exp( \int \tan{x} dx) = \exp( \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx ) = \exp(-\log{\cos{x}}) = \frac{1}{\cos{x}}$$

これを標準形にかけると

$$\frac{1}{\cos{x}}y^{\prime} + \frac{\sin{x}}{\cos{x})^{2}} y = \cos{x}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$(\frac{1}{\cos{x}}y)^{\prime} = \cos{x}$$

この両辺を$x$で積分すると

$$\frac{1}{\cos{x}}y = \sin{x} + c$$

よって一般解は

$$y = \cos{x}(\sin{x} + c)$$

ここで初期値$y(0) = -1$を用いると $-1 = 1(0 + c) = c$より

$$y = \cos{x}(\sin{x} - 1) \ \ \framebox{終}$$

3.

RL回路を流れる電流を表わす方程式は

$$L\frac{di}{dt} + Ri = E$$

より 標準形

$$\frac{di}{dt} + \frac{10}{5 - t}i = \frac{20}{5-t} , \ 0 \leq t \leq 5$$

を得る．1階線形なので積分因子を求めると

$$\mu = \exp(\frac{10}{5 - t} dt) = \exp(- 10 \log{5 - t}) = (\frac{1}{5 - t})^{10}$$

これを標準形にかけると

$$(\frac{1}{5 - t})^{10}\frac{di}{dt} + (\frac{1}{5 - t})^{10}\frac{10}{5 - t} i = 20(\frac{1}{5 - t})^{11}$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$i$の導関数なので

$$((\frac{1}{5 - t})^{10}i)^{\prime} = 20({5 - t})^{-11}$$

この両辺を$t$で積分すると

$$(\frac{1}{5 - t})^{10}i = 2(\frac{1}{5 - t})^{10} + c$$

よって一般解は

$$i = 2 + c(5 - t)^{10}$$

ここで初期値$i(0) = 0$を用いると $0 = 2 + c 5^{10}$より $c = -2/5^{10}$．よって

$$i(t) = 2 - \frac{2}{5^{10}}(5 -t)^{10}$$

次に，$t \geq 5$の場合を考えると，$L = 0$よりRL回路を流れる電流を表わす方程式は $R i = E$となり， $i = 20/10 = 2$