1.7 解答

1.7

1.

(a) 標準形に直すと

$$y^{\prime} - \frac{1}{x} y = -\frac{1}{x}y^{2}$$

となり，これはBernoulliの方程式である．そこで両辺に$y^{-2}$をかけて整理すると

$$y^{-2}y^{\prime} - \frac{1}{x} y^{1-2} = -\frac{1}{x}$$

となる．ここで $u = y^{1-2} = y^{-1}$とおくと $u^{\prime} = -y^{-2}y^{\prime}$より

$$- u^{\prime} - \frac{1}{x} u = - \frac{1}{x}$$

これは$u$について線形なので，$u$についての標準形に直すと

$$u^{\prime} + \frac{1}{x} u = \frac{1}{x}$$

となる．そこで積分因子$\mu$を求めると $\mu = \exp(\int (1/x) dx) = \exp(\log{x}) = x$となる．これを$u$についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$$( x u)^{\prime} = 1$$

となる．この両辺を$x$について積分すると

$$xu = \int 1 dx = x + c$$

より

$$u = \frac{x + c}{x}$$

ここで $u = y^{-1}$を代入すると

$$y = \frac{1}{u} = \frac{x}{x+c} \ \ \framebox{終}$$

(b) 標準形に直すと

$$y^{\prime} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x}y^{2}\log{x}$$

となり，これはBernoulliの方程式である．そこで両辺に$y^{-2}$をかけて整理すると

$$y^{-2}y^{\prime} + \frac{1}{x} y^{1-2} = \frac{\log{x}}{x}$$

となる．ここで $u = y^{1-2} = y^{-1}$とおくと $u^{\prime} = -y^{-2}y^{\prime}$より

$$- u^{\prime} + \frac{1}{x} u = \frac{\log{x}}{x}$$

これは$u$について線形なので，$u$についての標準形に直すと

$$u^{\prime} - \frac{1}{x} u = - \frac{\log{x}}{x}$$

となる．そこで積分因子$\mu$を求めると $\mu = \exp(-\int (1/x) dx) = \exp(-\log{x}) = 1/x$となる．これを$u$についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$$( \frac{u}{x})^{\prime} = - \frac{\log{x}}{x^2}$$

となる．この両辺を$x$について積分すると

$$\frac{u}{x} = - \int \frac{\log{x}}{x^2} dx \ \left(\begin{array}{ll} v = \log{x} & dw = dx/x^2\\ dv = dx/x & w = - 1/x \end{array}\right )$$

$$= - [- \frac{\log{x}}{x} - \int \frac{-1}{x^2} dx ] = \frac{\log{x}}{x} + \frac{1}{x} + c$$

これより $u = \log{x} + 1 + cx$となり

$$y = \frac{1}{u} = \frac{1}{\log{x} + 1 + cx} \ \ \framebox{終}$$

(c) 標準形に直すと

$$y^{\prime} - \cos{x} y = - y^2 \cos{x}$$

となり，これはBernoulliの方程式である．そこで両辺に$y^{-2}$をかけて整理すると

$$y^{-2}y^{\prime} - \cos{x} y^{1-2} = - \cos{x}$$

となる．ここで $u = y^{1-2} = y^{-1}$とおくと $u^{\prime} = -y^{-2}y^{\prime}$より

$$- u^{\prime} -\cos{x} u = - \cos{x}$$

これは$u$について線形なので，$u$についての標準形に直すと

$$u^{\prime} + \cos{x} u = \cos{x}$$

となる．そこで積分因子$\mu$を求めると $\mu = \exp(\int \cos{x} dx) = \exp(\sin{x}) = e^{\sin{x}}$となる．これを$u$についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$$( e^{\sin{x}} u)^{\prime} = e^{\sin{x}} \cos{x}$$

となる．この両辺を$x$について積分すると

$$e^{\sin{x}} u = \int e^{\sin{x}} \cos{x} dx \ \left(\begin{array}{ll} t = \sin{x} & dt = \cos{x}dx \end{array}\right )$$

$$= \int e^{t} dt = e^{t} + c = e^{\sin{x}} + c$$

これより $u = (e^{\sin{x}} + c)/e^{\sin{x}}$となり

$$y = \frac{1}{u} = \frac{e^{\sin{x}} }{e^{\sin{x}} + c } \ \ \framebox{終}$$

2.

(a) 標準形に直すと

$$y^{\prime} + y = - 4x(x+1) y^{-1}$$

となり，これはBernoulliの方程式である．そこで両辺に$y$をかけて整理すると

$$yy^{\prime} + y^2 = - 4x(x+1)$$

となる．ここで$u = y^{2}$とおくと $u^{\prime} = 2yy^{\prime}$より

$$\frac{ u^{\prime}}{2} + u = - 4x(x+1)$$

これは$u$について線形なので，$u$についての標準形に直すと

$$u^{\prime} + 2 u = - 8x(x+1)$$

となる．そこで積分因子$\mu$を求めると $\mu = \exp(\int 2 dx) = \exp(2x) = e^{2x}$となる．これを$u$についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$$( e^{2x} u)^{\prime} = - 8x(x+1)e^{2x}$$

となる．この両辺を$x$について積分すると

$$e^{2x} u = - 8\int (x^{2}e^{2x} + xe^{2x}) dx \ \left(\begin{array}{ll} v = x^{2} & dw = e^{2x}dx\\ dv = 2x dx & w = \frac{1}{2}e^{2x} \end{array}\right )$$

$$= - 8(\frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x} dx + \int xe^{2x} dx + c)$$

$$= - 4 x^{2}e^{2x} + c$$

これより

$$y^{2} = u = - 4 x^{2} + ce^{-2x} \ \ \framebox{終}$$

(b) $(y+1)y^{\prime} + x(y^{2} + 2y) = x$において， $u = y^{2} + 2y$とおくと $u^{\prime} = 2yy^{\prime} + 2y^{\prime} = 2y^{\prime}(y+1)$となる．これらを元の微分方程式に代入すると

$$\frac{u^{\prime}}{2} + ux = x$$

これは$u$について線形なので，$u$についての標準形に直すと

$$u^{\prime} + 2x u = 2x$$

となる．そこで積分因子$\mu$を求めると $\mu = \exp(\int 2x dx) = \exp(x^{2}) = e^{x^{2}}$となる．これを$u$についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$$( e^{x^{2}} u)^{\prime} = 2x e^{x^{2}}$$

となる．この両辺を$x$について積分すると

$$e^{x^{2}} u = 2 \int x e^{x^{2}} dx \ \left(\begin{array}{ll} t = x^{2} & dt = 2x dx \end{array}\right )$$

$$= \int e^{t} dt = e^{t} + c = e^{x^{2}} + c$$

これより $u = 1 + ce^{-x^{2}}$となり

$$u = y^{2} + 2y = 1 + ce^{-x^{2}} \ \ \framebox{終}$$

3.

(a) 標準形に直すと

$$y^{\prime} = - y^{2} - \frac{4x}{x^{2}}y - \frac{2}{x^{2}}$$

となり，これはRiccatiの方程式である． $f(x) = -2/x$はこの方程式のひとつの解であるから $y = -2/x + 1/u$とおくと $y^{\prime} = \frac{2}{x^{2}} - u^{\prime}/u^{2}$．これらを標準形に代入すると

$$\frac{2}{x^{2}} - u^{\prime}/u^{2} = - ( -\frac{2}{x} + \frac{1}{u})^{2} - \frac{4x}{x^{2}}(-\frac{2}{x} + \frac{1}{u}) - \frac{2}{x^{2}}$$

$$= - \frac{4}{x^2} + \frac{4}{xu} - \frac{1}{u^{2}} + \frac{8}{x^{2}} - \frac{4}{xu} - \frac{2}{x^{2}}$$

$$= \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{u^{2}}$$

となる．整理すると $u^{\prime} = 1$．よって

$$u = x + c$$

ここで $y = -2/x + 1/u$より

$$y = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x + c} = -\frac{x + 2c}{x(x+c) } \ \ \framebox{終}$$

(b) 標準形に直すと

$$y^{\prime} = - y^{2} + \frac{1}{x}y + x^2$$

となり，これはRiccatiの方程式である．そこでこの方程式の解をひとつ見つける．$f(x) = x$はこの方程式のひとつの解となるので $y = x + 1/u$とおくと $y^{\prime} = 1 - u^{\prime}/u^{2}$．これらを標準形に代入すると

$$1 - u^{\prime}/u^{2} = - ( x + \frac{1}{u})^{2} + \frac{1}{x}(x + \frac{1}{u}) + x^{2}$$

$$= - x^{2} - 2\frac{x}{u} - \frac{1}{u^{2}} + 1 + \frac{1}{ux} + x^{2}$$

$$= 1 - 2\frac{x}{u} + \frac{1}{ux} - \frac{1}{u^2}$$

となる．整理すると $u^{\prime} = 2ux - \frac{u}{x} + 1$．これは$u$について一階線形なので標準形に書き直すと

$$u^{\prime} + ( \frac{1}{x} - 2x)u = 1$$

ここで積分因子$\mu$を求めると $\mu = \exp(\int (1/x - 2x) dx) = \exp(\log{x} - x^{2}) = e^{\log{x}}e^{-x^{2}} = xe^{-x^{2}}$となる．これを$u$についての標準形にかけると，左辺は必ず積分因子かける従属変数の導関数になるので

$$( xe^{-x^{2}} u)^{\prime} = x e^{-x^{2}}$$

となる．この両辺を$x$について積分すると

$$xe^{x^{2}} u = \int x e^{x^{2}} dx \ \left(\begin{array}{ll} t = -x^{2} & dt = -2x dx \end{array}\right )$$

$$= -\frac{1}{2} \int e^{t} dt = -\frac{1}{2} e^{t} + c = -\frac{1}{2}e^{- x^{2}} + c$$

これより $u = -1/2x + c/xe^{-x^{2}} = ( 2ce^{x^2} - 1) /2x$となる．よって

$$y = x + \frac{1}{u} = x + \frac{2x}{2ce^{x^2} - 1} \ \ \framebox{終}$$