1.5 解答

1.5

1.

(a) $M_{y} = -2y, \ N_{x} = 2y$より完全微分形ではない．そこで積分因子を捜す． $M_{y} - N_{x} = - 4y$より $(1/N)[M_{y} - N_{x}]$を計算すると

$$\frac{1}{N}(M_{y} - N_{x}) = \frac{-4y}{2xy} = \frac{-2}{x}$$

これは$x$だけの関数なので積分因子は

$$\mu = \exp(- \int \frac{2}{x} dx) = \exp(-2 \log{x}) = \frac{1}{x^{2}}$$

で与えられる．これを元の式にかけると

$$(\frac{1}{x} - \frac{y^2}{x^2}) dx + \frac{2y}{x} dy = 0$$

この式は完全微分形なのでくくり直すと

$$\frac{1}{x} dx + (- \frac{y^2}{x^2} dx + \frac{2y}{x} dy) = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(\log{\vert x\vert}) + d(\frac{y^2}{x}) = d(c)$$

よって一般解は

$$\log{\vert x\vert} + \frac{y^2}{x} = c \ \ \ \framebox{終}$$

(b) $M_{y} = 5x + 8y, \ N_{x} = 2x + 2y$より完全微分形ではない．そこで積分因子を捜す． $M_{y} - N_{x} = 3x + 6y$より $(1/N)[M_{y} - N_{x}]$を計算すると

$$\frac{1}{N}(M_{y} - N_{x}) = \frac{3x + 6y}{x^2 + xy} = \frac{3(x+2y)}{x(x+2y)} = \frac{3}{x}$$

これは$x$だけの関数なので積分因子は

$$\mu = \exp(\int \frac{3}{x} dx) = \exp(3 \log{x}) = x^{3}$$

で与えられる．これを元の式にかけると

$$(5x^4 y + 4x^3 y^2 + x^3)dx + (x^5 + 2x^4 y ) dy = 0$$

この式は完全微分形なのでくくり直すと

$$x^3 dx + [(5x^4 y + 4x^3 y^2) dx + (x^5 + 2x^4 y ) dy] = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(\frac{x^4}{4}) + d(x^5 y + 2x^{4}y^{2}) = d(c)$$

よって一般解は

$$\frac{x^4}{4} + x^5 y + x^4 y^2 = c \ \ \ \framebox{終}$$

(c) $M_{y} = 4xy + 1, N_{x} = -1$より完全微分形ではない．そこで積分因子を捜す． $M_{y} - N_{x} = 4xy + 2$より $(1/M)[M_{y} - N_{x}]$を計算すると

$$\frac{1}{N}(M_{y} - N_{x}) = \frac{4xy + 2}{2xy^2 + y} = \frac{2(2xy + 1)}{y(2xy + 1)} = \frac{2}{y}$$

これは$y$だけの関数なので積分因子は

$$\mu = \exp(- \int \frac{2}{y} dy) = \exp(-2 \log{y}) = \frac{1}{y^2}$$

で与えられる．これを元の式にかけると

$$(2x + \frac{1}{y})dx + (2y - \frac{x}{y^2})dy = 0$$

この式は完全微分形なのでくくり直すと

$$2x dx + (\frac{1}{y}dx - \frac{x}{y^2}dy) + 2y dy = 0$$

全微分を用いて書き直すと

$$d(x^2) + d(\frac{x}{y}) + d(y^2) = d(c)$$

よって一般解は

$$x^2 + \frac{x}{y} + y^2 = c \ \ \ \framebox{終}$$

(d) $M_{y} = \sec^{2}{y}, \ N_{x} = 1 - 2x \tan{y}$より完全微分形ではない．そこで積分因子を捜す．

$$M_{y} - N_{x} = \sec^{2}{y} - 1 + 2x \tan{y}$$

$$= \tan^{2}{y} + 2x \tan{y} = \tan{y}(\tan{y} + 2x)$$

より $(1/M)[M_{y} - N_{x}]$を計算すると

$$\frac{1}{M}(M_{y} - N_{x}) = \frac{\tan{y}(\tan{y} + 2x)}{2x + \tan{y}} = \tan{y}$$

これは$y$だけの関数なので積分因子は

$$\mu = \exp(- \int \tan{y} dy) = \exp(- \int \frac{\sin{y}}{\cos{y}} dy) = \exp( \log{\vert\cos{y}\vert}) = \cos{y}$$

で与えられる．これを元の式にかけると

$$(2x \cos{y} + \sin{y})dx + (x \cos{x} - x^2 \sin{y}) dy = 0$$

この式は完全微分形なので全微分を用いて書き直すと

$$d(x^2 \cos{y} + x \sin{y}) = d(c)$$

よって一般解は

$$x^2 \cos{y} + x \sin{y} = c \ \ \ \framebox{終}$$

2.

(a) $M_{y} = 4y - x, \ N_{x} = 4x - 3y$より完全微分形ではない．そこで積分因子を捜す．

$$M_{y} - N_{x} = -5x + 7y$$

より $(1/N)[M_{y} - N_{x}], (1/M)[M_{y} - N_{x}]$は$x, y$だけの関数にはならない．そこで積分因子を $\mu = x^{m}y^{n}$とおき，$m,n$を求める．

$$(2x^{m}y^{n+2} - x^{m+1}y^{n+1})dx + (2x^{m+2}y^{n} - 3x^{m+1}y^{n+1})dy = 0$$

が完全微分形になるためには

$$(\mu M)_{y} = 2(n+2)x^{m}y^{n+1} - (n+1)x^{m+1}y^{n}$$

$$(\mu N)_{x} = 2(m+2)x^{m+1}y^{n} - 3(m+1)x^{m}y^{n+1}$$

が等しくなければならない．よって

$$2(n+2) = -3(m+1), \ 2(m+2) = - (n + 1)$$

書き直すと

$$\begin{array}{ll} 3m + 2n &= -7\\ 2m + n &= - 5 \end{array}$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$m = \frac{\left \vert \begin{array}{cc} -7 & 2\\ -5 & 1 \end{... ...gin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{array} \right \vert} = \frac{3}{-1} = -3$$

また$n = 1$．これより $\mu = x^{-3}y$となる．これをもとの微分方程式にかけると

$$(2x^{-3}y^{3} - x^{-2}y^{2})dx + (2x^{-1}y - 3x^{-2}y^{2})dy = 0$$

この式は完全微分形なので全微分を用いて書き直すと

$$d(x^{-1}y^{2} - x^{-2}y^{3}) = d(c)$$

よって一般解は

$$x^{-1}y^{2} - x^{-2}y^{3} = c \ \ \ \framebox{終}$$

(b) $M_{y} = 4y^3 + 2x^3, \ N_{x} = -4x^3 - 2y^{3}$より完全微分形ではない．そこで積分因子を捜す． $M_{y},N_{x}$の形から積分因子を $\mu = x^{m}y^{n}$とおき，$m,n$を求める．

$$(x^{m}y^{n+4} + 2x^{m+3}y^{n+1})dx - (x^{m+4}y^{n} + 2x^{m+1}y^{n+3})dy = 0$$

が完全微分形になるためには

$$(\mu M)_{y} = (n+4)x^{m}y^{n+3} + 2(n+1)x^{m+3}y^{n}$$

$$(\mu N)_{x} = -(m+4)x^{m+3}y^{n} - 2(m+1)x^{m}y^{n+3}$$

が等しくなければならない．よって

$$(n+4) = -2(m+1), \ -(m+4) = 2(n + 1)$$

書き直すと

$$\begin{array}{ll} 2m + n &= -6\\ -m - 2n &= 6 \end{array}$$

この連立方程式をCramerの公式を用いて解くと

$$m = \frac{\left \vert \begin{array}{cc} -6 & 1\\ 6 & -2 \end{... ...n{array}{cc} 2 & 1\\ -1 & -2 \end{array} \right \vert} = \frac{6}{-3} = -2$$

また$n = -2$．これより $\mu = x^{-2}y^{-2}$となる．これをもとの微分方程式にかけると

$$(x^{-2}y^{2} + 2xy^{-1})dx - (x^{2}y^{-2} + 2x^{-1}y)dy = 0$$

この式は完全微分形なので全微分を用いて書き直すと

$$d(-x^{-1}y^{2} + x^{2}y^{-1}) = d(c)$$

よって一般解は

$$-x^{-1}y^{2} + x^{2}y^{-1} = c \ \ \ \framebox{終}$$