1.2 解答

1.2

1.

(a) 変数を分離すると

$$\frac{y^{\prime}}{y} = - \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$$

ここで両辺を積分すると

$$\int \frac{dy}{y} = - \int \frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx$$

より

$$\log{\vert y\vert} = - \log{\vert\sin{x}\vert} + c$$

ここで両辺に指数をとると

$$\vert y\vert = e^{- \log{\vert\sin{x}\vert} + c} = e^{- \log{\vert\sin{x}\vert}} \cdot e^{c}$$

$c$は任意の定数より$e^{c}$を$C$を用いて表わす． これより

$$\vert y\vert = C \frac{1}{\vert\sin{x}\vert}$$

次に $y = \pm C \frac{1}{\vert\sin{x}\vert}$となるが$\pm C$はまた定数なので$C$を用いて表わすと

$$y = C \frac{1}{\vert\sin{x}\vert}$$

最後に$\sin{x}$の絶対値をはずすと $y = \pm C \sin{x}$となるが$\pm C$はまた定数なので$C$を用いて表わすと

$$y = C \frac{1}{\sin{x}}$$

よって

$$(\sin{x})y = C$$

このように同じ$C$を用いて異なる値を表わすことを$C$の乱用という．これより$C$の乱用を黙って用いる．

(b) 変数を分離すると

$$\frac{y^{\prime}}{e^{y}} = e^{x}$$

ここで両辺を積分すると

$$\int e^{-y} dy = \int e^{x}dx$$

より

$$- e^{-y} = e^{x} + c$$

これより

$$e^{-y} = - e^{x} + C$$

ここで両辺に対数をとると

$$-y = \log{(C - e^{x})}$$

よって

$$y = - \log{(C - e^{x})} \ \ \ \framebox{終}$$

(c) 変数を分離し積分すると

$$\int \frac{dy}{1 - y^{2}} = \int \frac{dx}{1 - x^2}$$

より

$$\frac{1}{2}\log{\vert\frac{1+y}{1-y}\vert} = \frac{1}{2}\log{\vert\frac{1+x}{1-x}\vert} + c$$

これより

$$\log{\vert\frac{1+y}{1-y}\vert} = \log{\vert\frac{1+x}{1-x}\vert} + C$$

ここで両辺に指数をとり$C$の乱用を行なうと

$$\frac{1+y}{1-y} = C(\frac{1+x}{1-x})$$

これを$y$について解くと

$$(1 + y)(1 - x) = C(1 + x)(1 - y)$$

より

$$y[(1 - x) + C(1 + x) = C(1+x) - 1 + x$$

よって

$$y = \frac{ - 1 + x + C(1+x) } {(1 - x) + C(1 + x)} \ \ \ \framebox{終}$$

(d) 変数を分離し積分すると

$$\int \frac{dy}{1 + y^{2}} = \int (1 + 2x) dx$$

より

$$\arctan{y} = x + x^2 + c$$

$$y = \tan(x + x^2 + c) \ \ \ \framebox{終}$$

2.

(a) 変数を分離し積分すると

$$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{1 + e^{x}} = \int \frac{e^{-x} dx}{1 + e^{-x}}$$

より

$$\log{\vert y\vert} = - \log{\vert 1 + e^{-x}\vert} + c$$

これより

$$y = \frac{C}{1+e^{-x}}$$

ここで初期値$y(0) = 1$を用いると $1 = \frac{C } {1 + 1}$より

$$y = \frac{2}{1 + e^{-x}} \ \ \ \framebox{終}$$

(b) 変数を分離し積分すると

$$\int \frac{dy}{y} = - \int \sin{x} dx$$

より

$$\log{\vert y\vert} = \cos{x} + c$$

これより

$$y = Ce^{\cos{x}}$$

ここで初期値 $y(\pi) = 3$を用いると $3 = C e^{-1}$より

$$y = 3 e^{\cos{x} + 1} \ \ \ \framebox{終}$$

(c) 変数を分離し積分すると

$$\int \frac{y dy}{1 + y^{2}} = \int \frac{1}{x} dx$$

より

$$\frac{1}{2}\log{\vert 1 + y^{2}\vert} = \log{\vert x\vert} + c$$

これより

$$\log{\vert 1 + y^{2}\vert} = 2 \log{\vert x\vert} + C$$

ここで両辺に指数をとり$C$の乱用を行なうと

$$1 + y^{2} = C x^{2}$$

ここで初期値$y(2) = 1$を用いると $1 + 1 = C (2^{2})$より

$$1 + y^{2} = \frac{1}{2}x^{2} \ \ \ \framebox{終}$$

(d) 変数を分離すると

$$\int \frac{y^{3}}{y^{2} -1} dy = \int \frac{x}{x - 1} dx$$

積分すると

$$\int (y + \frac{y}{y^{2} - 1}) dy = \int (1 + \frac{1}{x - 1})dx$$

より

$$\frac{y^2}{2} + \frac{1}{2}\log{\vert y^2 - 1\vert} = x + \log{\vert x - 1\vert} + c$$

これより

$$y^2 + \log{\vert y^2 - 1\vert} = 2x + \log{(x-1)^2} + C$$

ここで初期値$y(2) = 2$を用いると $4 + \log{3} = 4 + \log{1} + C$より $C = \log{3}$. よって

$$y^2 + \log{\vert y^2 - 1\vert} = 2x + \log{(x-1)^2} + \log{3} \ \ \ \framebox{終}$$

3.

(a) Newtonの冷却の法則を用いてこの問題を定式化すると

$$\frac{dT}{dt} = - \kappa(T - 20), \ T(0) = 70, \ T(15) = 50$$

変数を分離し積分すると

$$\int \frac{dT}{T - 20} = \int - \kappa dt$$

より

$$\log{\vert T - 20\vert} = - \kappa t + c$$

ここで両辺に指数をとり$C$の乱用を行なうと

$$T - 20 = C e^{- \kappa t}$$

次に境界値 $T(0) = 70, \ T(15) = 50$を用いると $70 -20 = C, \ 50 - 20 = C e^{- 15 \kappa}$より $C = 50, \ e^{-\kappa} = (\frac{3}{5})^{1/15}$．これより

$$T = 20 + 50 (\frac{3}{5})^{\frac{t}{15}}$$

よって30分後の物体の温度は

$$T(30) = 20 + 50 (\frac{3}{5})^{\frac{30}{15}} = 38^{\circ}C\ \ \ \framebox{終}$$

(b) 物体の温度が32度より

$$32 = 20 + 50 (\frac{3}{5})^{\frac{t}{15}}$$

これを$t$について解くと

$$\frac{12}{50} = (\frac{3}{5})^{\frac{t}{15}}$$

より両辺に対数をとって

$$\log{\frac{12}{50} } = \frac{t}{15}\log{(\frac{3}{5})}$$

これより

$$t = 15\log{(\frac{5}{3})} \log{(\frac{6}{25})} = 41.9min \ \ \framebox{終}$$