1.1 解答

1.1

1.

$${y = e^{x}}$$ より $${y^{\prime} = e^{x}, y^{\prime\prime} = e^{x}}$$．よって

$$y^{\prime\prime} -2y^{\prime} + y = e^{x} - 2e^{x} + e^{x} = 0$$

$${y = xe^{x}}$$ より $${y^{\prime} = e^{x} + xe^{x}, y^{\prime\prime} = 2e^{x} + xe^{x}}$$．よって

$$y^{\prime\prime} -2y^{\prime} + y = 2e^{x} + xe^{x} - 2(e^{x} + xe^{x}) + xe^{x} = 0$$

$${y = c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}}$$ より $${y^{\prime} = c_{1}e^{x} + c_{2}(e^{x} + xe^{x}), y^{\prime\prime} = c_{1}e^{x} + c_{2}(2e^{x} + xe^{x})}$$．よって

$$y^{\prime\prime} -2y^{\prime} + y = c_{1}e^{x} + c_{2}(2e^{x} + xe^{x}) - 2(c_{1}e^{x} + c_{2}(e^{x} + xe^{x})) + c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}$$

$$= c_{1}(e^{x} - 2e^{x} + e^{x}) + c_{2}(2e^{x} + xe^{x} - 2(e^{x} + xe^{x}) + xe^{x}) = 0$$

次に， $${y = c_{1}e^{x}+c_{2}xe^{x}, \ y(0) = 1,\ y^{\prime}(0) = -1}$$ のとき $${c_{1},c_{2}}$$ を求める．まず， $y(0) = 1$ より $1 = y(0) = c_{1}$．よって $c_{1} = 1$．次に， $y^{\prime}(0) = -1$ より $-1 = y^{\prime}(0) = c_{1} + c_{2}$．よって $c_{2} = -2$．

2.

$y = \sin{x}$ より $${y^{\prime} = \cos{x}, y^{\prime\prime} = -\sin{x}}$$．よって

$$y^{\prime\prime} + y = -\sin{x} + \sin{x} = 0$$

$y = \cos{x}$より $y^{\prime} = -\sin{x}, y^{\prime\prime} = -\cos{x}$．よって

$$y^{\prime\prime} + y = -\cos{x} + \cos{x} = 0$$

$y = c_{1}\sin{x} + c_{2}\cos{x}$より $y^{\prime} = c_{1}\cos{x} - c_{2}\sin{x}, y^{\prime\prime} = -c_{1}\sin{x} - c_{2}\cos{x}$．よって

$$y^{\prime\prime} + y = -c_{1}\sin{x} - c_{2}\cos{x} + c_{1}\sin{x} + c_{2}\cos{x} = 0$$

次に，$\sin{x}$ と $\cos{x}$ で張られるベクトル空間について考える．まず， $\sin{x}$ と $\cos{x}$ で張られるベクトル空間は次のように表わせる．

$$V(\sin{x},\cos{x}) = \{c_{1}\sin{x} + c_{2}\cos{x} : c_{1},c_{2} \in R\}$$

つまり，$\sin{x}$ と $\cos{x}$ の一次結合全体の集まりとなる．また，このベクトル空間の次元を求めると，

$$c_{1}\sin{x} + c_{2}\cos{x} = 0, c_{1}\cos{x} - c_{2}\sin{x} = 0$$

より， $c_{1} = c_{2} = 0$となる．つまり$\sin{x}$と$\cos{x}$は一次独立だといえる．よって， $V(\sin{x},\cos{x})$の次元 は2である．