1.3 解答

1.3

1.

(a) $xy, \ x^2 + y^2$共に2次の同次関数．よって

$$y^{\prime} = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} = \frac{y/x}{1 + (y/x)^{2}}$$

ここで$v = y/x$とおくと $y = vx, \ y^{\prime} = v^{\prime} x + v$より

$$v^{\prime} x + v = \frac{v}{1 + v^2}$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime} x = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2}$$

より

$$\int \frac{1 + v^2}{v^3} dv = - \int \frac{1}{x} dx$$

または

$$\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = - \log{x} + c$$

よって

$$\frac{v^{-2}}{2} + \log{\vert v\vert} = - \log{x} + c$$

ここで$v = y/x$を代入すると

$$\frac{1}{2}(\frac{x}{y})^{2} + \log{\vert\frac{y}{x}\vert} + \log{x} = c$$

よって

$$\log{y} - \frac{x^2}{2y^2} = C \ \ \ \framebox{終}$$

(b) $xy, \ (x + y)^{2}$共に2次の同次関数．よって

$$y^{\prime} = \frac{xy}{(x + y)^{2}} = \frac{y/x}{(1 + (2y/x))^{2}}.$$

ここで$v = y/x$とおくと $y = vx, \ y^{\prime} = v^{\prime} x + v$より

$$v^{\prime} x + v = \frac{v}{(1 + 2v)^{2}}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime} x = \frac{v - v - 4v^2 - 4v^3}{1 + v^2}$$

より

$$\int \frac{1 + 4v + 4v^2}{4v^3 + 4v^2} + \frac{1}{1+v}) dv = - \int \frac{1}{x} dx$$

または

$$\int \frac{1}{4}(\frac{3v + 1}{v^2} + \frac{1}{1+v}) dv = - \int \frac{1}{x} dx$$

よって

$$\frac{1}{4}(3\log{v} - \frac{1}{v} + \log{\vert 1 + v\vert}) = - \log{x} + c$$

ここで両辺を4倍すると，

$$\log{{v^3}(1 + v)} - \frac{1}{v} = - \log{x^{4}} + C$$

次に$v = y/x$を代入すると

$$\log{[(\frac{y}{x})^{3} + (\frac{y}{x})^{4}]} - \frac{x}{y} = - \log{x^{4}} + C$$

これより

$$\log{(\frac{y^{3}}{x^{3}} + \frac{y^4}{x^{4}}) x^{4}} - \frac{x}{y} = C$$

となり

$$\log{(xy^3 + y^4)} - \frac{x}{y} = C \ \ \ \framebox{終}$$

(c) $x^2 + 2xy - 4y^2, \ x^2 - 8xy - 4y^2$共に2次の同次関数．よって

$$y^{\prime} = \frac{1 + 2y/x - 4y^{2}/x^{2}}{1 - 8y/x - 4y^{2}/x^{2}}.$$

ここで$v = y/x$とおくと $y = vx, \ y^{\prime} = v^{\prime} x + v$より

$$v^{\prime} x + v = \frac{1 + 2v - 4v^2}{1 - 8v - 4v^2}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime} x = \frac{1 + 2v - 4v^2 - v + 8v^2 + 4v^3}{1 - 8v - 4v^2}$$

より

$$\int \frac{4v^2 + 8v - 1}{4v^3 + 4v^2 + v + 1} dv = - \int \frac{1}{x} dx$$

または

$$\int (\frac{-1}{v + 1} + \frac{8v}{4v^2 + 1}) dv = - \int \frac{1}{x} dx$$

よって

$$- \log{\vert v + 1\vert} + \log{\vert 4v^2 + 1\vert} = - \log{x} + c$$

ここで対数の差は商の対数で表わせるので

$$\log{\vert\frac{4v^2 +1}{v + 1}\vert} + \log{(x)^{4}} = c$$

次に$v = y/x$を代入すると

$$\log{\vert\frac{4(y/x)^2 +1}{(y/x) + 1}\vert} + \log{(x)^{4}} = c$$

これより

$$\log{\vert\frac{4y^2 + x^2}{y + x}\vert} = c$$

よって

$$x^2 + y^2 = C(x + y) \ \ \ \framebox{終}$$

(d) $x^2 - y^{2}e^{x/y}, \ xy$共に2次の同次関数．よって

$$1 - (\frac{y}{x})^{2}e^{\frac{y}{x}}y^{\prime} = \frac{y}{x}.$$

ここで$v = y/x$とおくと $y = vx, \ y^{\prime} = v^{\prime} x + v$より

$$v^{\prime} x + v = \frac{v}{1 - v^{2}e^{\frac{1}{v}}}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime} x = \frac{v - v + v^{3}e^{\frac{1}{v}}}{1 - v^{2}e^{\frac{1}{v}}}$$

より

$$\int \frac{1 - v^{2}e^{\frac{1}{v}}}{v^{3}e^{\frac{1}{v}}} dv = \int \frac{1}{x} dx$$

または

$$\int \frac{1}{v^{3}}e^{-\frac{1}{v}} dv - \int \frac{1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx$$

ここで部分積分

$$\left(\begin{array}{ll} u = \frac{1}{v} & dw = \frac{1}{v^{2}}e^... ...}{v}}dv\\ du = -\frac{dv}{v^{2}} & w = e^{-\frac{1}{v}} \end{array} \right)$$

を用いると

$$\frac{1}{v}e^{-\frac{1}{v}} + \int \frac{1}{v^{2}}e^{-\frac{1}{v}}dv - \log{\vert v\vert} = \log{\vert x\vert} + c$$

より

$$\frac{1}{v}e^{-\frac{1}{v}} + e^{-\frac{1}{v}} - \log{\vert v\vert} = \log{\vert x\vert} + c$$

ここで$v = y/x$を代入すると

$$\frac{x}{y}e^{-\frac{x}{y}} + e^{-\frac{x}{y}} - \log{\frac{y}{x}} - \log{\vert x\vert} = C$$

これより

$$e^{-\frac{x}{y}}(\frac{x}{y} + 1) - \log{y} = C \ \ \ \framebox{終}$$

(e) $x + 2y - 1$と $x + 2y + 7$は同次関数ではないが，共に$x + 2y$を含んでいるので， $u = x + 2y$とおくと， $u^{\prime} = 1 + 2y^{\prime}$より

$$\frac{u^{\prime} - 1}{2} = \frac{u - 1}{u + 7}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$u^{\prime} = \frac{2u - 2 + u+ 7}{u + 7} = \frac{3u + 5}{u + 7}$$

より

$$\int \frac{u + 7}{3u + 5} du = \int dx$$

または

$$\frac{1}{3}\int(1 + \frac{16}{3u + 5}) du = \int dx$$

これから

$$\frac{1}{3}u + \frac{16}{9}\log{\vert 3u + 5\vert} = x + c$$

ここで $u = x + 2y$を代入すると

$$\frac{1}{3}(x + 2y) + \frac{16}{9}\log{\vert 3(x + 2y) + 5\vert} = x + c$$

これより

$$2x - 2y - \frac{16}{3}\log{\vert 3x + 6y +5\vert} = C \ \ \ \framebox{終}$$

(f) $x - y + 8$と $y - 3x + 2$は同次関数ではないが，定数項がおちれば1次の同次関数になる．そこで

$$\left\{\begin{array}{ll} x - y + 8 & = 0 \\ -3x + y + 2 & = 0 \end{array}\right.$$

を解くと，

$$x = \frac{\left \vert \begin{array}{cc} -8 & -1\\ -2 & 1 \end... ...eft \vert \begin{array}{cc} 1 & -1\\ -3 & 1 \end{array} \right \vert} = 13$$

これより $x = 5, y = 13$が原点になるように座標軸の移動を行なうと， $x = X + 5, y = Y + 13$より

$$\frac{dY}{dX} = \frac{dY}{dx}\frac{dx}{dX} = \frac{dy}{dx} = \frac{X - Y}{Y - 3X}$$

これは同次方程式なので$v = Y/X$とおくと， $Y = vX, \ Y^{\prime} = v^{\prime}X + v$より

$$v^{\prime}X + v = \frac{1 - v}{v - 3}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime}X = \frac{1 - v - v^{2} + 3v}{v - 3}$$

より

$$\int \frac{v - 3}{v^2 - 2v -1} dv = - \int \frac{1}{X} dX$$

または

$$\frac{1}{2} \int (\frac{1 + \sqrt{2}}{v - 1 + \sqrt{2}} + \frac{1 - \sqrt{2}}{v - 1 - \sqrt{2}}) dv = - \log{\vert X\vert} + c$$

これから

$$\frac{1}{2}((1 + \sqrt{2})\log{\vert v - 1 + \sqrt{2}\vert} + (1 - \sqrt{2})\log{\vert v - 1 - \sqrt{2}\vert}) = - \log{\vert X\vert} + c$$

を得る．ここで $v = Y/X$ を代入すると

$$\frac{1}{2}((1 + \sqrt{2})\log{\vert \frac{Y}{X} - 1 + \sqrt{2}\v... ...sqrt{2})\log{\vert\frac{Y}{X} - 1 - \sqrt{2}\vert}) = - \log{\vert X\vert} + c$$

次に $X = x - 5, Y = y - 13$ で置き換えると

$$(1 + \sqrt{2})\log{\vert\frac{y - 13}{x - 5} - 1 + \sqrt{2}\vert}... ...}{x - 5} - 1 - \sqrt{2}\vert} + 2\log{\vert x - 5\vert} = C \ \ \ \framebox{終}$$

2.

(a) $y - \sqrt{x^2 + y^2}, x$は共に2次の同次関数より

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}.$$

ここで$v = y/x$とおくと， $y = vx, \ y^{\prime} = v^{\prime} x + v$より

$$v^{\prime}x + v = v - \sqrt{1 + v^2}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime}x = - \sqrt{1 + v^2}$$

より

$$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = - \int \frac{1}{x} dx$$

これから

$$\log{\vert v + \sqrt{1 + v^2}\vert} = - \log{\vert x\vert} + c$$

を得る． ここで$v = y/x$を代入すると

$$\log{\vert \frac{y}{x} + \sqrt{1 + (\frac{y}{x})^2}\vert} + \log{\vert x\vert} = c$$

または

$$\log{(y + \sqrt{x^2 + y^2})} = C$$

この両辺に指数をとると

$$y + \sqrt{x^2 + y^2} = C$$

最後に初期値 $y(\sqrt{3}) = 1$より $1 + \sqrt{4} = C$．よって

$$y + \sqrt{x^2 + y^2} = 3 \ \ \ \framebox{終}$$

(b) $y^3 - x^3, xy^2$は共に3次の同次関数より

$$((\frac{y}{x})^{3} - 1) dx - \frac{y^2}{x^2} dy = 0.$$

ここで$v = y/x$とおくと， $y = vx, \ y^{\prime} = v^{\prime} x + v$より

$$v^{\prime}x + v = \frac{v^3 - 1}{v^2} = v - \frac{1}{v^2}.$$

この式を変形して変数分離形にもっていくと

$$v^{\prime}x = - \frac{1}{v^2}$$

より

$$\int v^2 dv = - \int \frac{1}{x} dx$$

これから

$$\frac{v^3}{3} = - \log{\vert x\vert} + c$$

を得る． ここで$v = y/x$を代入すると

$$(\frac{y}{x})^{3} = - 3\log{\vert x\vert} + C$$

または

$$(\frac{y}{x})^{3} + 3\log{x} = C$$

最後に初期値$y(1) = 2$より$8 = C$．よって

$$(\frac{y}{x})^{3} + 3\log{x} = 8 \ \ \ \framebox{終}$$

3.

例題1.8は座標軸の移動を行なって定数項を落とすことができた．残念ながら例題1.9は $x + y - 1 = 0, \ x + y + 1 = 0$と2つの平行な直線を扱っているため，座標軸の移動では定数項を落とすことができない．