7.3.1 解答

7.3.1

1.

変数分離法を用いる． $u(x,y) = X(x)Y(y)$とおき，Laplace方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \lambda .$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ Y^{\prime\prime} + \lambda Y = 0 .$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$0 < y < K$に対して

$$u(0,y) = X(0)Y(y) = 0,$$

$$u(L,y) = X(L)Y(y) = 0$$

となる．これは$Y(y)$が0でないならば， $X(0) = X(L) = 0$を意味する．よってこれよりSturm-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ X(0) = X(L) = 0$$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{(n\pi x/L)}$を持っている．さらに，固有値が $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$のとき，

$$Y^{\prime\prime} + \lambda_{n}Y = 0$$

の一般解は

$$Y_{n}(y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi y}{L}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi y}{L}}$$

で与えられる．

$X_{n}(x)$と$Y_{n}(y)$の積

$$u_{n}(x,y) = \sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cosh{\frac{n\pi y}{L}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi y}{L}})$$

はLaplace方程式を満たし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cosh{\frac{n\pi y}{L}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi y}{L}}).$$

ここで初期条件 $u(x,0) = 0$より，

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\frac{n\pi}{L}\sin{\frac{n\pi x}{L}} \equiv 0.$$

よって$C_{n} = 0$．最後に境界条件 $u(x,K) = f(x)$より

$$u(x,K) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{n\pi x}{L}}( C_{n}\sinh{\frac{n\pi K}{L}}) \equiv f(x).$$

この条件が満たされるためには，この級数が$f(x)$に収束するように$D_{n}$を選ばなければならない．ところがこれは皆さんがよく知っている関数$f(x)$の$[0,L]$でのフーリエ正弦級数展開である．よって

$$D_{n}\sinh{\frac{n\pi K}{L}} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$$

で与えられる．よって

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}D_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}}\sinh{\frac{n\pi y}{L}}),$$

ただし， $D_{n}\sinh{\frac{n\pi K}{L}} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$．

2.

(a) 変数分離法を用いる． $u(x,y) = X(x)Y(y)$とおき，Laplace方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \lambda .$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ Y^{\prime\prime} + \lambda Y = 0 .$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$0 < y < K$に対して

$$u(0,y) = X(0)Y(y) = 0,$$

$$u(L,y) = X(L)Y(y) = 0$$

となる．これは$Y(y)$が0でないならば， $X(0) = X(L) = 0$を意味する．よってこれよりSturm-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ X(0) = X(L) = 0$$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{(n\pi x/L)}$を持っている．さらに，固有値が $\lambda_{n} = -n^{2}\pi^{2}/L^{2}$のとき，

$$Y^{\prime\prime} + \lambda_{n}Y = 0$$

の一般解は

$$Y_{n}(y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi y}{L}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi y}{L}}$$

で与えられる．

$X_{n}(x)$と$Y_{n}(y)$の積

$$u_{n}(x,y) = \sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cosh{\frac{n\pi y}{L}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi y}{L}})$$

はLaplace方程式を満たし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{n\pi x}{L}}(C_{n}\cosh{\frac{n\pi y}{L}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi y}{L}}).$$

ここで$u(x,y)$が$y$について項別微分可能であるとすると，初期条件 $u_{y}(x,0) = 0$より，

$$u_{y}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty}D_{n}\frac{n\pi}{L}\sinh{\frac{n\pi x}{L}} \equiv 0.$$

よって$D_{n} = 0$．最後に境界条件 $u(x,K) = f(x)$より

$$u(x,K) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{\frac{n\pi x}{L}}( C_{n}\cosh{\frac{n\pi K}{L}}) \equiv f(x).$$

この条件が満たされるためには，この級数が$f(x)$に収束するように$C_{n}$を選ばなければならない．ところがこれは関数$f(x)$の$[0,L]$でのフーリエ正弦級数展開である．よって

$$C_{n}\cosh{\frac{n\pi K}{L}} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$$

で与えられる．よって

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sin{\frac{n\pi x}{L}}\cosh{\frac{n\pi y}{L}},$$

ただし， $C_{n}\cosh{\frac{n\pi K}{L}} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$．

(b) 変数分離法を用いる． $u(x,y) = X(x)Y(y)$とおき，Laplace方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \lambda .$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ Y^{\prime\prime} + \lambda Y = 0 .$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$0 < x < L$に対して

$$u(x,0) = X(x)Y(0) = 0,$$

$$u(x,K) = X(x)Y(K) = 0$$

となる．これは$X(x)$が0でないならば， $Y(0) = Y(K) = 0$を意味する．よってこれよりSturm-Liouville問題

$$Y^{\prime\prime} + \lambda Y = 0, \ \ Y(0) = Y(K) = 0$$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = n^{2}\pi^{2}/K^{2}$，固有関数 $Y_{n}(x) = \sin{(n\pi y/K)}$を持っている．さらに，固有値が $\lambda_{n} = n^{2}\pi^{2}/K^{2}$のとき，

$$X^{\prime\prime} - \lambda_{n}X = 0$$

の一般解は

$$X_{n}(y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi x}{K}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}$$

で与えられる．

$X_{n}(x)$と$Y_{n}(y)$の積

$$u_{n}(x,y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

はLaplace方程式を満たし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}... ...c{n\pi x}{K}}\sinh{(n\pi y/K)} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}.$$

ここで境界条件 $u(L,y) = 0$より

$$u(L,y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi L}{K}}\sinh{(n\pi y/K)} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}}\sin{(n\pi y/K)} \equiv 0.$$

よって

$$D_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}} = - C_{n}\cosh{\frac{n\pi L}{K}}$$

これより

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}}\cosh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

$$- C_{n}\cosh{\frac{n\pi L}{K}}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L - x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

次に初期条件 $u(0,y) = g(x)$より，

$$u(0,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}}\sin{(n\pi y/K)} \equiv g(y).$$

この条件が満たされるためには，この級数が$g(y)$に収束するように$C_{n}$を選ばなければならない．ところがこれは関数$g(y)$の$[0,K]$でのフーリエ正弦級数展開である．よって

$$C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}} = \frac{2}{K}\int_{0}^{K}g(y)\sin{\frac{n\pi y}{K}} dy$$

で与えられる． よって

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi (L - x)}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

ただし， $C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}} = \frac{2}{K}\int_{0}^{K}g(y)\sin{\frac{n\pi y}{K}} dy$．

3. 変数分離法を用いる． $u(x,y) = X(x)Y(y)$とおき，Laplace方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = \lambda .$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ Y^{\prime\prime} + \lambda Y = 0 .$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$0 < y < K$に対して

$$u_{x}(0,y) = X^{\prime}(0)Y(y) = 0,$$

$$u_{x}(L,y) = X^{\prime}(L)Y(y) = 0$$

となる．これは$Y(y)$が0でないならば， $X^{\prime}(0) = X^{\prime}(L) = 0$を意味する．よってこれより

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ X^{\prime}(0) = X^{\prime}(L) = 0$$

を得る．これもSturm-Liouville問題である．

$\lambda = 0$のとき $X^{\prime\prime} = 0$より $X = c_{1}x + c_{2}$．ここで境界値 $X^{\prime}(0) = X^{\prime}(L) = 0$を用いると

$$X^{\prime}(0) = c_{1}, X^{\prime}(L) = c_{1} = 0$$

より$X = c_{2}$.

$\lambda < 0$のとき， $\lambda = - \beta^2$とおくと，

$$X^{\prime\prime} + \beta^2 X = 0$$

よって $X = c_{1}\cos{\beta x} + c_{2}\sin{\beta x}$．ここで境界値 $X^{\prime}(0) = X^{\prime}(L) = 0$を用いると

$$X^{\prime}(0) = c_{2}, X^{\prime}(L) = -\beta c_{1}\sin{\beta L} = 0$$

よって固有値は

$$\lambda_{n} = -\beta^2 = - (\frac{n \pi}{L})^2$$

また固有関数は

$$x_{n} = \sin(\frac{n\pi}{L})$$

$\lambda > 0$のとき， $\lambda = \alpha^2$とおくと，

$$X^{\prime\prime} - \alpha^2 X = 0$$

よって $X = c_{1}\cosh{\alpha x} + c_{2}\sinh{\alpha x}$．ここで境界値 $X^{\prime}(0) = X^{\prime}(L) = 0$を用いると

$$X^{\prime}(0) = c_{2}, X^{\prime}(L) = \alpha c_{1}\sinh{\alpha L} = 0$$

よって $c_{1} = c_{2} = 0$．これより 固有値 $\lambda_{n} = -\beta^2 = - (\frac{n \pi}{L})^2$，固有関数 $x_{n} = \sin(\frac{n\pi}{L})$を得る．

$$\lambda = -\beta^2 = - (\frac{n \pi}{L})^2$$

また固有関数は

$$x_{n} = \sin(\frac{n\pi}{L})$$

より$X = c_{2}$. この問題は固有値 $\lambda_{n} = n^{2}\pi^{2}/K^{2}$，固有関数 $Y_{n}(x) = \sin{(n\pi y/K)}$を持っている．さらに，固有値が $\lambda_{n} = n^{2}\pi^{2}/K^{2}$のとき，

$$X^{\prime\prime} - \lambda_{n}X = 0$$

の一般解は

$$X_{n}(y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi x}{K}} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}$$

で与えられる．

$X_{n}(x)$と$Y_{n}(y)$の積

$$u_{n}(x,y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

はLaplace方程式を満たし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}... ...c{n\pi x}{K}}\sinh{(n\pi y/K)} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}.$$

ここで境界条件 $u(L,y) = 0$より

$$u(L,y) = C_{n}\cosh{\frac{n\pi L}{K}}\sinh{(n\pi y/K)} + D_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}}\sin{(n\pi y/K)} \equiv 0.$$

よって

$$D_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}} = - C_{n}\cosh{\frac{n\pi L}{K}}$$

これより

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}}\cosh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

$$- C_{n}\cosh{\frac{n\pi L}{K}}\sinh{\frac{n\pi x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

$$= \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L - x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

次に初期条件 $u(0,y) = g(x)$より，

$$u(0,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}}\sin{(n\pi y/K)} \equiv g(y).$$

この条件が満たされるためには，この級数が$g(y)$に収束するように$C_{n}$を選ばなければならない．ところがこれは関数$g(y)$の$[0,K]$でのフーリエ正弦級数展開である．よって

$$C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}} = \frac{2}{K}\int_{0}^{K}g(y)\sin{\frac{n\pi y}{K}} dy$$

で与えられる． よって

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sinh{\frac{n\pi L - x}{K}}\sin{(n\pi y/K)}$$

ただし， $C_{n}\sinh{\frac{n\pi L}{K}} = \frac{2}{K}\int_{0}^{K}g(y)\sin{\frac{n\pi y}{K}} dy$．