7.3.2

7.3.2

1.

(a) まず弾性弦の垂直方向の変位を$u(x,t)$とすると，$u(x,t)$は一次元波動方程式 $u_{xx} = (1/c^2)u_{tt} \ (0 < x < 1, t > 0)$を満たす．次に，初期条件は

$$u(x,0) = \sin{\pi x}, u_{t}(x,0) = 0$$

と表わせる．また両端が固定されているので，境界条件は

$$u(0,t) = u(1,t) = 0$$

となる．ここで変数分離法を用いる． $u(x,t) = X(x)T(t)$とおき，一次元波動方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^2 T} = \lambda.$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda T = 0.$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$t$に対して

$$u(0,t) = X(0)T(t) = 0,$$

$$u(1,t) = X(1)T(t) = 0$$

となる．これは$T(t)$が0でないならば， $X(0) = X(1) = 0$を意味する．よってこれよりSturm-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ X(0) = X(1) = 0$$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = - n^{2}\pi^{2}$，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{n \pi x}$をもっている．また，固有値 $\lambda_{n} = - n^{2}\pi^{2}$のとき，

$$T^{\prime\prime} - c^{2} \lambda_{n} T = 0$$

の一般解は

$$T_{n} = C_{n}\cos{n\pi ct} + D_{n} \sin{n \pi ct}$$

ここで$X_{n}$と$T_{n}$の積

$$u_{n}(x,t) = \sin{n\pi x}(C_{n}\cos{n\pi ct} + D_{n}\sin{n\pi ct})$$

は一次元波動方程式をみたし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{n\pi x}(C_{n}\cos{n\pi ct} + D_{n}\sin{n\pi ct})$$

ここで初期条件 $u(x,0) = \sin{\pi x}$より

$$\sin{\pi x} = u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\sin{n \pi x}$$

これより $C_{1} = 1, C_{n} = 0 (n \geq 2)$．次に $u_{t}(x,0) = 0$より

$$0 = u_{t}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} D_{n}(n\pi c)\sin{n \pi x}$$

これより $D_{n}(n\pi c) = 0$．よって

$$u(x,t) = \sin{\pi x} \cos{\pi c t} \ \ \framebox{終}$$

(b) まず弾性弦の垂直方向の変位を$u(x,t)$とすると，$u(x,t)$は一次元波動方程式 $u_{xx} = (1/c^2)u_{tt} \ (0 < x < 1, t > 0)$を満たす．次に，初期条件は初速度1m/secより

$$u(x,0) = 0, u_{t}(x,0) = 1$$

と表わせる．また両端が固定されているので，境界条件は

$$u(0,t) = u(1,t) = 0$$

となる．ここで変数分離法を用いる． $u(x,t) = X(x)T(t)$とおき，一次元波動方程式に代入すると

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = \frac{T^{\prime\prime}}{c^2 T} = \lambda.$$

これよりただちに次の微分方程式を得る．

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ \ T^{\prime\prime} - c^{2}\lambda T = 0.$$

ここで$u$の境界条件を用いると，すべての$t$に対して

$$u(0,t) = X(0)T(t) = 0,$$

$$u(1,t) = X(1)T(t) = 0$$

となる．これは$T(t)$が0でないならば， $X(0) = X(1) = 0$を意味する．よってこれよりSturm-Liouville問題

$$X^{\prime\prime} - \lambda X = 0, \ X(0) = X(1) = 0$$

を得る．すでに学んだように，この問題は固有値 $\lambda_{n} = - n^{2}\pi^{2}$，固有関数 $X_{n}(x) = \sin{n \pi x}$をもっている．また，固有値 $\lambda_{n} = - n^{2}\pi^{2}$のとき，

$$T^{\prime\prime} - c^{2} \lambda_{n} T = 0$$

の一般解は

$$T_{n} = C_{n}\cos{n\pi ct} + D_{n} \sin{n \pi ct}$$

ここで$X_{n}$と$T_{n}$の積

$$u_{n}(x,t) = \sin{n\pi x}(C_{n}\cos{n\pi ct} + D_{n}\sin{n\pi ct})$$

は一次元波動方程式をみたし，さらに境界条件を満たしている．よって重ね合わせの原理より

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin{n\pi x}(C_{n}\cos{n\pi ct} + D_{n}\sin{n\pi ct})$$

ここで初期条件 $u(x,0) = 0$より

$$0 = u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\sin{n \pi x}$$

これより $C_{n} = 0 (n \geq 1)$．次に $u_{t}(x,0) = 1$より

$$1 = u_{t}(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} D_{n}(n\pi c)\sin{n \pi x}$$

ここで $b_{n} = n\pi c D_{n}$とおくと

$$b_{n} = \frac{2}{1}\int_{0}^{1}\sin{n\pi x} dx$$

$$= 2 \int_{0}^{1}\sin{n \pi x} dx$$

$$= -\frac{2}{n \pi}\cos{n\pi x}\mid_{0}^{1}$$

$$= -\frac{2}{n \pi}(\cos{n\pi} - 1) = \frac{2(1 - (-1)^n)}{n\pi}$$

よって

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(1 - (-1)^n)}{(n\pi)^2 c }\sin{n \pi x}\sin{n \pi ct} \ \ \framebox{終}$$

2.

$u_{tt} = c^2 u_{xx} \ (-\infty < x < \infty, \ t > 0)$において， $v = x+ mt, \ w = x + nt$とおくと $u(x,t) = U(v,w)$より
$$\begin{array}{lll} &u_{tt} &= m^2 U_{vv} +2mnU_{vw} + n^2 U_{... ...U_{vv} + (2mn - 2c^2 ) U_{vw} + (n^2 - c^2 )U_{ww} \end{array}$$

ここで$m,n$を $t^2 - c^2 = 0$の解とすると$t = \pm c$. よって $m = c, \ n = -c$とおくと

$$( 2mn - 2c^2)U_{vw} = -4c^2 U_{vw} = 0$$

となる．これを$w$について積分すると

$$U_{v} = \int {0} dw = c(v)$$

次に$v$について積分すると

$$u(x,y) = U(v,w) = \int c(v) dv = g_{1}(v) + h_{1}(w)$$

$$= g_{1}(x + ct) + h_{1}(x - ct)$$

ここで初期条件を用いると

$$f(x) = u(x,0) = g_{1}(x) + h_{1}(x)$$

$$g(x) = u_{t}(x,0) = cg_{1}^{\prime}(x) - ch_{1}^{\prime}(x)$$

これより $g_{1}^{\prime}(x), h_{1}^{\prime}(x)$を求めると，

$$g_{1}^{\prime}(x) = \frac{1}{2c}(cf^{\prime}(x) + g(x)$$

$$h_{1}^{\prime}(x) = \frac{1}{2c}(cf^{\prime}(x) - g(x)$$

よって

$$g_{1}(x) = \frac{1}{2c}(cf(x) + \int_{}^{x}g(\tau)d\tau$$

$$h_{1}(x) = \frac{1}{2c}(cf(x) - \int_{}^{x}g(\tau)d\tau$$

これより

$$u(x,t) = U = g_{1}(x + ct) + h_{1}(x - ct)$$

$$= \frac{1}{2c}(cf(x+ct) + \int_{}^{x+ct}g(\tau)d\tau) + \frac{1}{2c}(cf(x-ct) + \int_{}^{x-ct}g(\tau)d\tau)$$

$$= \frac{1}{2}[f(x + ct) + g(x - ct)] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(\tau)d\tau \ \framebox{終}$$

3. $u(x,t) = \frac{1}{2}[f(x + ct) + g(x - ct)] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(\tau)d\tau$
ここで $f(x) = u(x,0) = e^{-x^2}, g(x) = u_{t}(x,0) = 1$より

$$u(x,t) = \frac{1}{2}[e^{-(x+ct)^2} + e^{-(x-ct)^{2}}] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}d\tau$$

$$= \frac{1}{2}(e^{-(x+ct)^2} + e^{-(x-ct)^2}) + \frac{1}{2c}(2ct)$$

$$= \frac{1}{2}(e^{-(x+ct)^2} + e^{-(x-ct)^2}) + t \ \ \ \framebox{終}$$

4.

(a) $u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$を仮定し，これを2次元波動方程式に代入すると

$$\frac{T^{\prime\prime}}{c^2 T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y}$$

左辺は$x, y$と独立で，右辺は$t$と独立なので，両辺とも定数となり，この定数を $-\lambda^2$とおくと

$$\frac{T^{\prime\prime}}{cT} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = - \lambda^2$$

これより

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} - \lambda^2$$

となり，ここでも左辺と右辺は定数となるのでこの定数を $- \alpha^2$とおくと，次の3つの微分方程式を得る．

$$\begin{array}{l} X^{\prime\prime} - \alpha X = 0\\ Y^{\prime... ...\beta Y = 0\\ T^{\prime\prime} - c^2 \lambda T = 0 \end{array}$$

ただし， $\beta = \lambda - \alpha$．ここで境界条件

$$u(o,y,t) = u(1,y,t) = 0, \ u(x,0,t) = u(x,1,t) = 0$$

を用いると，Sturm-Liouville問題

$$\begin{array}{l} X^{\prime\prime} - \alpha X = 0, \ X(0) = X(... ... Y^{\prime\prime} - \beta Y = 0, \ Y(0) = Y(1) = 0 \end{array}$$

が得られる．この境界値問題の固有値と固有関数はそれぞれ

$$\begin{array}{l} \alpha_{m} = - m^2 \pi^2, X_{m}(x) = \sin{m\... ...\pi^2, Y_{n}(y) = \sin{n\pi y} \ (n = 1,2,3,\ldots) \end{array}$$

で与えられる．この $\alpha_{m},\beta_{n}$に対して，$T$は

$$T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct} + D_{mn}\sin{\sqrt{m^2 +n^2}\pi ct}$$

ここで初期条件 $u_{t}(x,y,0) = 0$より $T^{\prime}(0) = 0$となるので $D_{mn} = 0$，よって

$$T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct}$$

こうして，境界条件と初期条件を満たす解の列

$$u_{mn}(x,y,t) = \sin{m\pi x}\sin{n \pi x} C_{mn}\cos{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct}$$

が得られる．これらを重ね合わせて

$$u(x,y,t) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y}C_{mn}\cos{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct}$$

が得られる．ここで初期条件 $u(x,y,0) = f(x,y) = \sin{\pi x}\sin{\pi y}$より

$$\sin{\pi x}\sin{\pi y} = u(x,y,0) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\sin{m\pi x}\sin{n \pi y} C_{mn}$$

よって $C_{11} = 1, C_{mn} = 0 \ (m \neq 1, n \ne q1)$．これより

$$u(x,y,t) = \sin{\pi x}\sin{\pi y}\cos{(\sqrt{2} \pi ct)} \ \ \framebox{終}$$

(b) $u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$を仮定し，これを2次元波動方程式に代入すると

$$\frac{T^{\prime\prime}}{c^2 T} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y}$$

左辺は$x, y$と独立で，右辺は$t$と独立なので，両辺とも定数となり，この定数を $-\lambda^2$とおくと

$$\frac{T^{\prime\prime}}{cT} = \frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} = - \lambda^2$$

これより

$$\frac{X^{\prime\prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime\prime}}{Y} - \lambda^2$$

となり，ここでも左辺と右辺は定数となるのでこの定数を $- \alpha^2$とおくと，次の3つの微分方程式を得る．

$$\begin{array}{l} X^{\prime\prime} - \alpha X = 0\\ Y^{\prime... ...\beta Y = 0\\ T^{\prime\prime} - c^2 \lambda T = 0 \end{array}$$

ただし， $\beta = \lambda - \alpha$．ここで境界条件

$$u(o,y,t) = u(1,y,t) = 0, \ u(x,0,t) = u(x,1,t) = 0$$

を用いると，Sturm-Liouville問題

$$\begin{array}{l} X^{\prime\prime} - \alpha X = 0, \ X(0) = X(... ... Y^{\prime\prime} - \beta Y = 0, \ Y(0) = Y(1) = 0 \end{array}$$

が得られる．この境界値問題の固有値と固有関数はそれぞれ

$$\begin{array}{l} \alpha_{m} = - m^2 \pi^2, X_{m}(x) = \sin{m\... ...\pi^2, Y_{n}(y) = \sin{n\pi y} \ (n = 1,2,3,\ldots) \end{array}$$

で与えられる．この $\alpha_{m},\beta_{n}$に対して，$T$は

$$T_{mn}(t) = C_{mn}\cos{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct} + D_{mn}\sin{\sqrt{m^2 +n^2}\pi ct}$$

ここで初期条件 $u(x,y,0) = 0$より$T(0) = 0$となるので $C_{mn} = 0$，よって

$$T_{mn}(t) = D_{mn}\sin{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct}$$

こうして，境界条件と初期条件を満たす解の列

$$u_{mn}(x,y,t) = \sin{m\pi x}\sin{n \pi x} D_{mn}\sin{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct}$$

が得られる．これらを重ね合わせて

$$u(x,y,t) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\sin{m\pi x}\sin{n\pi y}D_{mn}\sin{\sqrt{m^2 + n^2}\pi ct}$$

が得られる．ここで初期条件 $u_{t}(x,y,0) = g(x,y)$より

$$g(x,y) = u_{t}(x,y,0) = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}D_{mn}\sqrt{m^2 + n^2}\pi c\sin{m\pi x}\sin{n \pi y}$$

ここで

$$D_{m} = \sum_{n=1}^{\infty} D_{mn}\sqrt{m^2 + n^2}\pi c \sin{n\pi y}$$

とおくと

$$g(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty}\sin{m \pi x}$$

よって

$$D_{mn}\sqrt{m^2 + n^2}\pi c = 2\int_{0}^{1}D_{m}\sin{n \pi y} dy$$

$$= 2\int_{0}^{1}(2\int_{0}^{1}g(x,y)\sin{m \pi x}dx) \sin{n\pi y} dy$$

$$= 4\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}g(x,y)\sin{m \pi x}\sin{n \pi y}dx dy$$

よって

$$D_{mn} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + n^2}\pi c}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}g(x,y)\sin{m \pi x}\sin{n \pi y}dx dy \ \framebox{終}$$