3.1 解答

3.1

1.

(a) $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{cc} 1-\lambda&4\\ 1&1-\lambda \end{array}\right) = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda + 1)(\lambda - 3)$ より固有値は $\lambda = -1, 3$である．次に固有値 $\lambda = -1$に対する固有ベクトル${\bf C}$は

$$(A + I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} 2&4\\ 1&2 \end{array}\r... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$$

をみたす．ここで行列 $\left(\begin{array}{cc} 2&4\\ 1&2 \end{array}\right)$は被約階段行列 $\left(\begin{array}{ccc} 1&2\\ 0&0 \end{array}\right)$に変形されるので， $c_{2} = \alpha$とおくと， $c_{1} = - 2\alpha$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} -2\\ 1 \end{array}\right)e^{-t}$.

次に固有値 $\lambda = 3$に対する固有ベクトルは

$$(A - 3I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} -2&4\\ 1&-2 \end{array... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列 $\left(\begin{array}{cc} -2&4\\ 1&-2 \end{array}\right)$は被約階段行列 $\left(\begin{array}{ccc} 1&-2\\ 0&0 \end{array}\right)$に変形されるので， $c_{2} = \beta$とおくと， $c_{1} = 2\beta$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \beta \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array}\right)e^{3t}$. これより一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{c} -2\\ 1 \end{array}\right)e^{-t} + c_{2}\left(\begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array}\right)e^{3t}$$

で与えられる．

(b) $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{cc} 6-\lambda&-3\\ 2&1-\lambda \end{array}\right) = \lambda^2 - 7\lambda + 12 = (\lambda - 3)(\lambda - 4)$ より固有値は $\lambda = 3,4$である．次に固有値 $\lambda = 3$に対する固有ベクトルCは

$$(A - 3I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} 3&-3\\ 2&-2 \end{array... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$$

をみたす．ここで行列 $\left(\begin{array}{cc} 3&-3\\ 2&-2 \end{array}\right)$は被約階段行列 $\left(\begin{array}{ccc} 1&-1\\ 0&0 \end{array}\right)$に変形されるので， $c_{2} = \alpha$とおくと， $c_{1} = \alpha$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)e^{3t}$.

次に固有値 $\lambda = 4$に対する固有ベクトルは

$$(A - 3I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} 2&-3\\ 2&-3 \end{array... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列 $\left(\begin{array}{cc} 2&-3\\ 2&-3 \end{array}\right)$は被約階段行列 $\left(\begin{array}{ccc} 1&-\frac{3}{2}\\ 0&0 \end{array}\right)$に変形されるので， $c_{2} = 2\beta$とおくと， $c_{1} = 3\beta$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \beta \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array}\right)e^{4t}$. これより一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)e^{3t} + c_{2}\left(\begin{array}{c} 3\\ 2 \end{array}\right)e^{4t}$$

で与えられる．

(c) $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{ccc} 1-\lambda&1&-1\\ 0&2-\lambda&0\\ 0&1&-1 - \lambda \end{array}\right) = -(1 - \lambda)(2 - \lambda)(1+\lambda)$ より固有値は $\lambda = -1, 1, 2$である．次に固有値 $\lambda = -1$に対する固有ベクトル${\bf C}$は

$$(A + I){\bf C} = \left(\begin{array}{ccc} 2&1&-1\\ 0&3&0\\ 0&1&... ...{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

をみたす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} 2&1&-1\\ 0&3&0\\ 0&1&0 \end{array}\rig... ... \left(\begin{array}{ccc} 1&0&-\frac{1}{2}\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{3} = 2\alpha$とおくと， $c_{1} = \alpha, c_{2} = 0$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 2 \end{array}\right)e^{-t}$.

$\lambda = 1$に対する固有ベクトルは

$$(A - I){\bf C} = \left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&1&0\\ 0&1&... ...{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&1&0\\ 0&1&-2 \end{array}\ri... ...grightarrow \left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{1} = \beta$とおくと， $c_{2} = 0, c_{3} = 0$となるので固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = \beta \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)e^{t}$.

$\lambda = 2$に対する固有ベクトルは

$$(A - 2I){\bf C} = \left(\begin{array}{ccc} -1&1&-1\\ 0&0&0\\ 0&... ...{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} -1&1&-1\\ 0&0&0\\ 0&1&-3 \end{array}\r... ...ghtarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&0&-2\\ 0&1&-3\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{3} = \gamma$とおくと， $c_{2} = 3 \gamma, c_{1} = 2 \gamma$となるので固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = \gamma \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3\\ 1 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{3} = \left(\begin{array}{c} 2\\ 3\\ 1 \end{array}\right)e^{2t}$.

これより一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 2 \end{array}\rig... ...\right)e^{t} + c_{3}\left(\begin{array}{c} 2\\ 3\\ 1 \end{array}\right)e^{2t}$$

で与えられる．

(d) $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{ccc} 1-\lambda&-3&2\\ 0&-1-\lambda&0\\ 0&-1&-2 - \lambda \end{array}\right) = (1 + \lambda)(1 - \lambda)(2+\lambda)$ より固有値は $\lambda = -2,-1,1$である．次に固有値 $\lambda = -2$に対する固有ベクトル${\bf C}$は

$$(A + 2I){\bf C} = \left(\begin{array}{ccc} 3&-3&2\\ 0&1&0\\ 0&-... ...{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

をみたす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} 3&-3&2\\ 0&1&0\\ 0&-1&0 \end{array}\ri... ...w \left(\begin{array}{ccc} 1&0&\frac{2}{3}\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{3} = 3\alpha$とおくと， $c_{1} = -2\alpha, c_{2} = 0$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} -2\\ 0\\ 3 \end{array}\right)e^{-2t}$.

$\lambda = -1$に対する固有ベクトルは

$$(A - I){\bf C} = \left(\begin{array}{ccc} 2&-3&2\\ 0&0&0\\ 0&-1... ...{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} 2&-3&2\\ 0&0&0\\ 0&-1&-1 \end{array}\r... ...w \left(\begin{array}{ccc} 1&0&\frac{5}{2}\\ 0&1&1\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{3} = 2\beta$とおくと， $c_{2} = -2\beta, c_{3} = -5\beta$となるので固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = \beta \left(\begin{array}{c} -5 \\ -2\\ 2 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ -2\\ 2 \end{array}\right)e^{-t}$.

$\lambda = 1$に対する固有ベクトルは

$$(A - 2I){\bf C} = \left(\begin{array}{ccc} 0&-3&2\\ 0&-2&0\\ 0&... ...{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} 0&-3&2\\ 0&-2&0\\ 0&-1&-3 \end{array}\... ...grightarrow \left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{1} = \gamma$とおくと， $c_{2} = 0, c_{3} = 0$となるので固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{array}\right) = \gamma \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{3} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)e^{2t}$.

これより一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{c} -2\\ 0\\ 3 \end{array}\ri... ...\right)e^{-t} + c_{3}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)e^{t}$$

で与えられる．

(e) 微分方程式を $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}$について解くと，

$$x_{1}^{\prime} = 3x_{1} + 2x_{2}$$

$$x_{2}^{\prime} = -3x_{1} - 4x_{2}$$

これより $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{cc} 3-\lambda&2\\ -3&-4-\lambda \end{array}\right) = \lambda^2 + \lambda -6 = (\lambda - 2)(\lambda + 3)$. よって固有値は $\lambda = -3,2$である．次に固有値 $\lambda = -3$に対する固有ベクトル${\bf C}$は

$$(A + 3I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} 6&2\\ -3&-1 \end{array... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$$

をみたす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} 6&2\\ -3&-1 \end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&\frac{1}{3}\\ 0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{2} = 3\alpha$とおくと， $c_{1} = -\alpha$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)e^{-3t}$.

$\lambda = 2$に対する固有ベクトルは

$$(A - 2I){\bf C} = \left(\begin{array}{cc} 1&2\\ -3&-6 \end{array... ...\ c_{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array}\right)$$

を満たす．ここで行列

$$\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ -3&-6 \end{array}\right) \Longrightarrow \left(\begin{array}{ccc} 1&2\\ 0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{2} = \beta$とおくと， $c_{1} = -2\beta$となるので固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \beta \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)e^{2t}$. これより一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{c} -1\\ 3 \end{array}\right)e^{-3t} + c_{2}\left(\begin{array}{c} -2\\ 1 \end{array}\right)e^{2t}$$

で与えられる．

(f) 微分方程式を $x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime}$について解くと，

$$2x_{1}^{\prime} + 6x_{1} + 4x_{2} = 0, \ 2x_{2}^{\prime} + 6x_{1} + 2x_{2} = 0$$

よって

$$x_{1}^{\prime} = -3x_{1} - 2x_{2}$$

$$x_{2}^{\prime} = -3x_{1} - x_{2}$$

これより $\det(A - \lambda I) = \left(\begin{array}{cc} -3-\lambda&-2\\ -3&-1-\lambda \end{array}\right) = \lambda^2 + 4\lambda - 3 = 0$. よって固有値は $\lambda = -2 \pm \sqrt{7}$である．次に固有値 $\lambda = -2 + \sqrt{7}$に対する固有ベクトル${\bf C}$を求める． ここで行列

$$\left(\begin{array}{ccc} -1 - \sqrt{7}&-2\\ -3&1 - \sqrt{7} \end... ...ow \left(\begin{array}{ccc} 1&-\frac{1 - \sqrt{7}}{3}\\ 0&0 \end{array}\right)$$

は被約階段行列に変形されるので， $c_{2} = 3\alpha$とおくと， $c_{1} = (1 - \sqrt{7})\alpha$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} 1 - \sqrt{7} \\ 3 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1 - \sqrt{7} \\ 3 \end{array}\right)e^{(-2 + \sqrt{7})t}$.

$\lambda = -2 - \sqrt{7}$に対する固有ベクトルを求める． 行列 $\left(\begin{array}{ccc} -1 + \sqrt{7}&-2\\ -3&1 + \sqrt{7} \end{array}\right)... ...ow \left(\begin{array}{ccc} 1&-\frac{1 + \sqrt{7}}{3}\\ 0&0 \end{array}\right)$は被約階段行列に変形されるので， $c_{2} = 3\alpha$とおくと， $c_{1} = (1 + \sqrt{7})\alpha$となる．したがって，固有ベクトルは $\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) = \alpha \left(\begin{array}{c} 1 + \sqrt{7} \\ 3 \end{array}\right)$となり， ${\bf X}_{2} = \left(\begin{array}{c} 1 + \sqrt{7} \\ 3 \end{array}\right)e^{(-2 - \sqrt{7})t}$.

これより一般解は

$${\bf X} = c_{1}\left(\begin{array}{c} 1 - \sqrt{7} \\ 3 \end{arr... ...eft(\begin{array}{c} 1 + \sqrt{7} \\ 3 \end{array}\right)e^{(-2 - \sqrt{7})t}$$

で与えられる．