2.6 解答

2.6

1.

(a) $x = e^{t}, y = x^{\lambda}$とおくと，決定方程式は

$$\lambda(\lambda - 1) + 4 \lambda + 2 = \lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda + 1)(\lambda + 2) = 0$$

より根は $\lambda = -1, -2$である．この決定方程式は次の微分方程式の特性方程式になっている．

$$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$$

よって一般解は

$$y = c_{1}e^{-t} + c_{2}e^{-2t} = c_{1}x^{-1} + c_{2}x^{-2} \ \ \framebox{終}$$

(b) $x = e^{t}, y = x^{\lambda}$とおくと，決定方程式は

$$\lambda(\lambda - 1) + \lambda + 9 = \lambda^2 + 9 = 0$$

より根は $\lambda = \pm 3i$である．この決定方程式は

$$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 9y = 0$$

の特性方程式になっているので一般解は

$$y = c_{1}\cos{3t} + c_{2}\sin{3t} = c_{1}\cos{(3\log{x})} + c_{2}\sin{(3\log{x})} \ \ \framebox{終}$$

(c) $x = e^{t}, y = x^{\lambda}$とおくと，決定方程式は

$$\lambda(\lambda - 1) - \lambda - 3 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda + 1)(\lambda - 3) = 0$$

より根は $\lambda = -1, 3$である．この決定方程式は次の微分方程式の特性方程式になっている．

$$\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - 2\frac{dy}{dt} - 3y = t e^{2t} \ \ *$$

よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}e^{-t} + c_{2}e^{3t}$$

で与えられる．また特殊解を未定係数法で求める． $(D - 2)^{2} te^{2t} = 0$より

$$(D + 1)(D - 3)(D -2)^{2} y = 0$$

を満たす$y$を求めると $\{e^{-t}, e^{3t}, e^{2t}, te^{2t}\}$となるが， $\{e^{-t}, e^{3t}\}$はすでに余関数に用いられているので省くと

$$y_{p} = Ate^{2t} + Be^{2t}$$

となる．これを*に代入すると

$$\begin{array}{ll} -3(y_{p} & = Ate^{2t} + Be^{2t})\\ -2(y_{p... ...Be^{2t}}\\ te^{2t} & = (2A - 3B)e^{2t} -3Ate^{2t} \end{array}$$

これより $A = -1/3, B = - 2/9$が求まり，

$$y_{p} = -\frac{1}{3}te^{2t} - \frac{2}{9} e^{2t}$$

となる． よって一般解は

$$y = c_{1}e^{-t} + c_{2}e^{3t} - (\frac{1}{3}te^{2t} + \frac{2}{9} e^{2t})$$

$$= c_{1}x^{-1} + c_{2}x^{3} - (\frac{1}{3}x^{2}\log{x} + \frac{2}{9}x^{2}) \ \ \framebox{終}$$

(d) $x = e^{t}, y = x^{\lambda}$とおくと，決定方程式は

$$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2) + \lambda(\lambda - 1) - 2\lambda + 2 = 0$$

で与えられる．整理すると

$$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2) + \lambda(\lambda - 1) - 2\lamb... ...a + 2) + \lambda^{2} - 3\lambda + 2 = (\lambda + 1)(\lambda -1)(\lambda -2) = 0$$

となり根は $\lambda = -1, 1, 2$である．この決定方程式は次の微分方程式の特性方程式になっている．

$$(D + 1)(D - 1)(D - 2)y = e^{3t} \ \ \ \ {*}$$

よって余関数$y_{c}$は

$$y_{c} = c_{1}e^{-t} + c_{2}e^{t} + c_{3} e^{2t}$$

で与えられる．また特殊解を未定係数法で求める． $(D - 3) e^{3t} = 0$より

$$(D + 1)(D - 1)(D -2)(D - 3) y = 0$$

を満たす$y$を求めると $\{e^{-t}, e^{t}, e^{2t}, e^{3t}\}$となるが， $\{e^{-t}, e^{t}, e^{2t}\}$はすでに余関数に用いられているので省くと

$$y_{p} = Ae^{3t}$$

となる．これを*に代入すると

$$(D^3 - 2D^2 - D + 2)Ae^{3t} = e^{3t}(2A - 3A - 18A + 27A) = e^{3t} (8A) = e^{3t}$$

より$A = 1/8$ が求まり，

$$y_{p} = \frac{1}{8}e^{3t}$$

となる． よって一般解は

$$y = c_{1}e^{-t} + c_{2}e^{t} + c_{3}e^{2t} + \frac{1}{8}e^{3t}$$

$$= c_{1}x^{-1} + c_{2}x + c_{3}x^{2} + \frac{1}{8}x^{3} \ \ \framebox{終}$$

(e) 与式はEulerの方程式ではないが，両辺に$x$をかけることによりEulerの方程式に変形できる．

$$x^3 y^{\prime\prime\prime} + 5x^2 y^{\prime\prime} + 4xy^{\prime} = 0$$

ここで $x = e^{t}, y = x^{\lambda}$とおくと，決定方程式は

$$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 2) + 5\lambda(\lambda - 1) + 4\lambda = 0$$

で与えられる．整理すると

$$\lambda^{3} + 2\lambda ^{2} + \lambda = \lambda(\lambda^2 + 2\lambda + 1) = \lambda(\lambda + 1)^2 = 0$$

となり根は $\lambda = 0, -1, -1$である．この決定方程式は次の微分方程式の特性方程式になっている．

$$(D^3 + 2D^2 + D)y = 0$$

よって一般解は

$$y = c_{1} + c_{2}e^{-t} + c_{3}te^{-t} = c_{1} + c_{2}x^{-1} + c_{3}x^{-1}\log{x} \ \ \framebox{終}$$