初等関数(Elementary function)

有理整関数

が多項式のとき， $w = f(z) = a_{n}z^{n} + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_{1}z + a_{0}$ を有理整関数という．

有理関数 $f(z),g(z)$ が有理整関数のとき， $\frac{f(z)}{g(z)}$ を有理関数といい， $g(z) = 0$ を満たす点を除いて定義できる．

注 $g(z) = 0$ を満たす $z$ を零点(zero point)という．

指数関数

定義 2..1 $w = e^{z} = e^{x}(\cos{y} + i\sin{y})$ を指数関数といい， $w = e^{z}$ あるいは $w = \exp{z}$ と表わす．

定理 2..1 (1) $e^{z_{1} + z_{2}} = e^{z_{1}}e^{z_{2}}, \ (e^{z})^{n} = e^{nz} \ (nは整数)$
(2) $e^{z}$ は周期 $2\pi i$ を持つ．

証明 (1) $z_{1} = x_{1} + i y_{1}, z_{2} = x_{2} + i y_{2}$ とすると，

$\displaystyle e^{z_{1} + z_{2}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{x_{1} + x_{2} + i(y_{1} + y_{2})}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{x_{1} + x_{2}}(\cos{(y_{1} + y_{2})} + i\sin(y_{1} + y_{2}))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{x_{1} + x_{2}}[\cos{y_{1}}\cos{y_{2}} - \sin{y_{1}}\sin{y_{2}} + i(\sin{y_{1}}\cos{y_{2}} + \cos{y_{1}}\sin{y_{2}})]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{x_{1} + x_{2}}[(\cos{y_{1}} + i\sin{y_{1}})(\cos{y_{2}}+i\sin{y_{2}})]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{x_{1}}(\cos{y_{1}} + i\sin{y_{1}})e^{x_{2}}(\cos{y_{2}}+i\sin{y_{2}})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{z_{1}}e^{z_{2}}$

(2) $e^{z + c} = e^{z}$ が成り立つとき，関数 $e^{z}$ は周期 $c$

を持つという．そこで， $e^{z + c} = e^{z}$ とおくと $e^{z}e^{c} = e^{z}$ より $e^{c} = 1$ ． $c = a + bi$

とおくと $e^{c} = e^{a + bi} = e^{a}(\cos{b} + i\sin{b}) = 1$ より $e^{a}\cos{b} = 1, e^{a}\sin{b} = 0$ ．これより $a = 0, \cos{b} = 1, \sin{b} = 0$ ．これを満たす $b$

は $b = 2n\pi ( n = 0, \pm1,\pm2,\ldots)$ ．したがって， $e^{z}$ は周期 $2\pi i$ を持つ．

例題 2..2 次の式を満たす複素数を求めよ． $e^{z} = -1$

解ここでは $e^{z} = e^{x}(\cos{y}+i\sin{y})$ を用いる． $e^{z} = -1$ より， $e^{x}(\cos{y}+i\sin{y}) = -1$ . ここで，実部と虚部どうしが等しいことに注意すると，次の連立方程式を得る． $\left\{\begin{array}{c} e^{x}\cos{y} = -1\\ e^{x}\sin{y} = 0 \end{array}\right.$

ここで， $\cos^{2}{y} + \sin^{2}{y} = 1$ であることに注意すると， $e^{2x}\cos^{2}{y} + e^{2x}\sin^{2}{y} = e^{2x} = 1$ . よって， $2x = 0$ ．　つまり， $x = 0$ となる．これをもとの連立方程式に代入すると， $\cos{y} = -1, \sin{y} = 0$ となる．これより， $y = \pi + 2n\pi(n = 0,\pm1,\pm2,\ldots)$ . よって，求める $z$ は，