初等関数の逆関数

対数関数 複素変数の指数関数の逆関数を複素変数の 対数関数(logarithmic function)という．つまり，複素変数$z$と$w$の間に

$$z = e^{w}$$

の関係があるとき，

$$w = \log{z}$$

と定義する．ただし，指数関数は周期$2\pi i$を持っているので，

$$z = re^{i\theta} = re^{i(\theta + 2k\pi)}$$

となり，

$$w = \log{z} = \log{r} + i(\theta + 2k\pi)$$

となる．したがって， 対数関数$\log{z}$は，1つの複素数$z$に対して無限個の異なる値が対応する．すなわち無限多価関数である．$\log{z}$の 主値または 主分岐は

$$\log{z} = \log{z} + i\theta,\ 0 \leq \theta < 2\pi$$

で与えられるが，長さ$2\pi$の区間なら他の区間でもよい．例えば $-\pi < \theta \leq \pi$．

例題 2..3  

$\log{-5}$の値を求めよ．

解 $\log{z} = \log_{e}r + i(\theta + 2n\pi)(n=0,\pm1,\pm2,\ldots)$を用いる．

$$\log{(-5)} = \log_{e}\vert-5\vert + i(\pi + 2n\pi) = \log_{e}5+(2n+1)\pi i$$

練習問題2.4

1. $z^{1/2}$は2つの分岐を持つことを示せ．

2. 次の値を全て求めよ．

(a)

$\log{2}$

(b)

$\log{(-1)}$

(c)

$\log{i}$

(d)

$\log(1+i)$

3. 次の値を$a + bi$の形で表せ．

(a)

$(-1)^{i}$

(b)

$i^{i}$

(c)

$2^{i}$

(d)

$2^{1+i}$

4. 次の公式を証明せよ．

(a)

$\sin^{-1}{z} = \frac{1}{i}\log{(iz \pm \sqrt{1 - z^2})}$

(b)

$\tan^{-1}{z} = \frac{1}{2i}\log{\frac{1 + iz}{1 - iz}}$

(5) 次の値を求めよ．

(a)

$\cos^{-1}{1}$

(b)

$\sin^{-1}{2}$

(c)

$\cos^{-1}{i}$