1次関数

$a,b,c,d$を複素数の定数とするとき，

$$w = \frac{az + b}{cz + d}\ (ad - bc \neq 0)$$

の形の関数を$z$の 1次分数関数(fractional transformation)という．

この関数は，分解すると次の３つの関数の合成であることが分かる．

• $w = z + a$ 複素平面上で平行移動
• $w = az\ (a \neq 0)$ 複素平面上で 回転と伸縮
• $w = \frac{1}{z}$ 原点を通る直線は原点を通る直線に，その他の直線は原点を通る円に，原点を通る円は直線に，その他の円は円に変換される．

練習問題2.2

1. $w = \frac{1}{z}$による次の直線または円の像はどんな直線または円に写されるか．

(a)

単位円$\vert z\vert = 1$と2点P,Qで交わる直線

(b)

単位円に1点Pで接する直線

(c)

3点$a$(実数)，$i$，$-i$を通る円

2. 複素平面上で，次の1次変換による不変な点を求めよ．

(a)

$w = \frac{1}{z}$

(b)

$w = \frac{az + b}{cz + d} \ (ad -bc \neq 0)$