複素関数(Complex function)

複素平面上の1つの領域 $D$

$D$

の各点

$z = x + yi$

に対し，1つの複素数 $w = u + vi$

$w = u + vi$

，

$u = u(x,y), v= v(x,y)$

が対応するとき，

$w$

を領域

$D$

で定義された複素関数といい， $w = f(z) = u + iv = u(x,y) + iv(x,y)$

$w = f(z) = u + iv = u(x,y) + iv(x,y)$

と表わす．この領域

$D$

を関数

$f(z)$

の定義域(domain)という．

例題 2..1 次の関数の定義域を求めよ． (a) , (b) $w = f(z) = \frac{1}{z}$

解 (a) $w = z^2$ の定義域 $D$ は全平面で， $u = x^2 - y^2, v = 2xy$

(b) $w = \frac{1}{z}$ の定義域 $D$ は原点を除く全平面で， $u = \frac{x}{x^2 + y^2}, \ v = \frac{-y}{x^2 + y^2}$

複素関数 $w = f(z)$ は $z$ 平面上の点 $z$ を $w$ 平面上の点 $w$ に対応させる写像と考えられるから，写像ということもある．このとき $w$ を像， $z$ を原像という．

一般には，1つの $z$ に対応する $w$ の値は1つと限らないが，私の講義では特に断らない限り $w$ の値がただ1つ対応する1価関数だけを扱う．

練習問題2.1

1.

$w = z^2$

のとき，

$x,y$

を

$u,v$

の関数で表し，

$z$

平面の実軸および虚軸に平行な $w$

$w$

平面のどのような曲線に写像されるかを調べよ．

2. 次の関数について $u,v$ を $x,y$ の関数で表せ．

(a)
(b): $w = \frac{z}{z+1}$
(c): $w = \frac{z - i}{z + i}$